In der Mathematik ist ein Ball der Raum innerhalb einer Kugel. Es kann eine geschlossene Kugel oder eine offene Kugel sein.

Diese Konzepte werden nicht nur im dreidimensionalen euklidischen Raum, sondern auch für niedrigere und höhere Dimensionen und für metrische Räume allgemein definiert. Eine Kugel in n Dimensionen wird als n-Kugel und von einer -Sphäre begrenzt. Somit wird eine Kugel in der euklidischen Ebene ist beispielsweise die gleiche wie einer Festplatte, den Bereich durch einen Kreis begrenzt ist. Im euklidischen 3-Raum wird eine Kugel getroffen werden, um das Volumen von einem 2-dimensionalen Kugelschale Grenze begrenzt ist.

In anderen Zusammenhängen, wie in der euklidischen Geometrie und informellen Gebrauch wird Sphäre manchmal verwendet, um Ball zu bedeuten.

Balls im euklidischen Raum

In der euklidischen n-Raum, ein n-Kugel mit dem Radius r und Mittelpunkt x der Menge aller Punkte der Abstand & lt; r von x. Ein geschlossenes n-Kugel mit dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Abstand ≤ r von x.

Im euklidischen n-dimensionalen Raum, jede Kugel ist das Innere einer Hypersphäre, das ist ein beschränkten Intervall, wenn n = 1 ist das Innere eines Kreises, wenn n = 2, und das Innere einer Kugel, wenn n = 3 ist.

Das Volumen

Der n-dimensionale Volumen eines euklidischen Kugel mit Radius R im n-dimensionalen euklidischen Raum ist:

wobei Γ ist Leonhard Eulers Gammafunktion. Mit expliziten Formeln für bestimmte Werte der Gammafunktion zu den Ganzzahlen und Halbzahlen gibt spezielle Volumens der euklidische Kugel, die nicht eine Auswertung der Gammafunktion erfordern. Dies sind:

In der Formel für ungerade-dimensionalen Volumen, wird die Doppelfakultät für ungerade Zahlen wie folgt definiert.

Kugeln im allgemeinen metrischen Räumen

Lassen Sie ein metrischer Raum, und zwar eine Menge M mit einer Metrik d sein. Die offene Kugel mit dem Radius r & gt; 0 zentriert an einem Punkt p in M, in der Regel durch Br oder B bezeichnet sind, definiert ist durch

Die geschlossene Kugel, die von Bt bzw. B bezeichnet werden kann, ist definiert durch

Beachten Sie insbesondere, dass eine Kugel beinhaltet immer p selbst, da die Definition erfordert r & gt; 0.

Die Schließung des offenen Kugel Br ist in der Regel bezeichnet. Während es immer der Fall, dass, und es ist nicht immer der Fall, dass. Beispielsweise in einem metrischen Raum X mit der diskreten Metrik hat man, und für jede.

Eine Einheit Ball ist eine Kugel mit dem Radius 1.

Eine Teilmenge von einem metrischen Raum beschränkt ist, wenn es in irgendeiner Kugel enthalten ist. Ein Satz ist total beschränkt, wenn bei jeder positiven Radius, wird es durch endlich viele Kugeln aus diesem Radius abgedeckt.

Die offenen Kugeln aus einem metrischen Raum sind eine Grundlage für ein topologischer Raum, dessen offene Mengen sind alle möglichen Vereinigungen von offenen Kugeln. Dieser Raum wird als die Topologie durch die Metrik d induziert.

Balls in normierte Vektorräume

Alle normierter Vektorraum V mit der Norm | · | ist auch ein metrischer Raum mit der Metrik d = | x - y |. In solchen Räumen, jeder Ball Br ist eine Kopie der Einheitskugel B1, durch r skaliert und durch p umgerechnet.

Die euklidische Kugeln bereits besprochen sind ein Beispiel für Kugeln in einer normierter Vektorraum.

p-Norm

In kartesischen Raum mit der p-Norm Lp, eine offene Kugel, ist die Menge

Für n = 2 ist, insbesondere die Kugeln von L1 sind Quadrate mit den Diagonalen parallel zu den Koordinatenachsen; diejenigen von L∞ sind Quadrate mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen. Für andere Werte von p, die Kugeln sind die Innenräume der Lamé-Kurven.

Für n = 3, werden die Kugeln von L1 -Oktaeder mit der Achse ausgerichteten Raumdiagonalen, die der L∞ sind Würfel mit achsparallel ausgerichteten Kanten und die von Lp mit p & gt; 2 superellipsoids.

Allgemeine konvexen Norm

Allgemeiner gesagt, zu jedem gegebenen zentralsymmetrisch, begrenzt wird, offen und konvexe Teilmenge X von R, kann man eine Norm auf R definieren, wo die Kugeln sind alle übersetzt und einheitlich skalierte Kopien X. Hinweis dieser Satz nicht gilt, wenn "offen" Untergruppe wird ersetzt durch "geschlossene" Teilmenge, weil die Ursprungspunkt qualifiziert sich jedoch keine Norm auf R. definieren

Topologischen Bälle

Man kann über die Kugeln in beliebigen topologischen Raum X, die nicht unbedingt durch eine Metrik induzierten sprechen. Eine n-dimensionale topologische Kugel X jede Teilmenge von X, die homöomorph einen euklidischen n-Kugel ist. Topologische n-Bälle sind in der kombinatorischen Topologie wichtig, da die Bausteine ​​des Zellkomplexe.

Alle offenen topologische n-Kugel homöomorph auf die kartesischen Raum R und zum offenen Einheit n-Würfel. Alle geschlossenen topologische n-Kugel homöomorph in die geschlossene n-Würfel.

Eine n-Kugel homeomorphic zu einem m-Kugel ist, wenn n = m. Die Homöomorphismen zwischen einer offenen n-Ball B und R können in zwei Klassen eingeteilt werden können, dass mit den beiden möglichen topologischen Ausrichtungen B. identifiziert werden

Eine topologische n-Ball muss nicht glatt sein; wenn es glatt ist, braucht sie nicht diffeomorph zu einem euklidischen n-Ball sein.