In der Mathematik Hyperfunktionen sind Verallgemeinerungen von Funktionen, wie ein "Sprung" von einem holomorphe Funktion auf ein anderes an einer Grenze, und der informell als Ausschüttungen unendlicher Ordnung betrachtet werden. Hyperfunktionen wurden von Mikio Sato im Jahr 1958 eingeführt, aufbauend auf früheren Arbeiten von Grothendieck und andere. In Japan ist es normalerweise der Satos Überfunktion mit dem Namen M. Sato genannt.

Formulierung

Eine Überfunktion auf der reellen Achse kann als die "Differenz" zwischen einem holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene definiert und eine andere auf der unteren Halbebene konzipiert werden. Das heißt, eine Überfunktion von einem Paar, wobei f eine holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene und g eine holomorphe Funktion auf der unteren Halbebene angegeben.

Informell ist die Überfunktion, was der Unterschied f - g würde an der reellen Achse selbst sein. Dieser Unterschied wird nicht durch Zugabe des gleichen holomorphe Funktion f und g betroffen, so dass, wenn h eine holomorphe Funktion auf der gesamten komplexen Ebene, die Hyperfunktionen und definiert sind äquivalent.

Definition in einer Dimension

Die Motivation kann konkret mit Ideen aus Garbenkohomologie umgesetzt werden. Lassen Sie Die Garbe der holomorphen Funktionen auf C. Definieren Sie die Hyperfunktionen auf der reellen Achse von

der erste lokale Kohomologiegruppe.

Konkret lassen C und C die obere Halbebene und unteren Halbebene betragen. Dann

damit

Da die nullte Kohomologiegruppe jeder Garbe ist einfach die globale Abschnitte des Bündels, sehen wir, dass eine Überfunktion ist ein Paar von holomorphen Funktionen je eine an den oberen und unteren komplexen Halbebene Modulo ganze holomorphe Funktionen.

Ganz allgemein eine für jede offene Menge als der Quotient, wo Sie jede offene Menge mit definieren. Man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der Wahl geben einen weiteren Grund, der Hyperfunktionen als "Grenzwerte" holomorpher Funktionen denken, abhängen.

Beispiele

• Wenn f jede holomorphe Funktion auf der gesamten komplexen Ebene, dann wird die Beschränkung von f auf der realen Achse ist eine Überfunktion, entweder durch oder dargestellt.

• Die Heaviside-Funktion kann dargestellt werden.

• Die Dirac-delta "Funktion" wird dargestellt. Das ist wirklich ein Restatement der Cauchyschen Integralformel. Um es zu überprüfen kann man die Integration von f knapp unterhalb der reellen Achse zu berechnen, und subtrahieren Integration g knapp oberhalb der reellen Achse - sowohl von links nach rechts. Man beachte, dass die Überfunktion kann nicht-trivial, auch wenn die Komponenten der analytischen Fortsetzung der gleichen Funktion. Auch dies kann leicht durch Differenzieren der Heaviside-Funktion überprüft werden.

• Ist G eine stetige Funktion auf der Zahlengeraden mit Träger in einem beschränkten Intervall I enthalten sind, entspricht dann g zur Überfunktion, wobei f eine holomorphe Funktion auf das Komplement I definiert durch

• Ist f eine beliebige Funktion, die holomorph überall, außer für eine wesentliche Singularität bei 0 ist, dann ist eine Überfunktion mit Unterstützung 0, die nicht eine Verteilung. Wenn f hat einen Pol endlicher Ordnung bei 0, dann ist eine Distribution, also, wenn f eine wesentliche Singularität dann sieht aus wie eine "Verteilung von unendlicher Ordnung" bei 0.

Operationen auf Hyperfunktionen

Lassen Sie eine beliebige offene Teilmenge.

• Per Definition ist ein Vektorraum, so daß die Addition und Multiplikation mit komplexen Zahlen sind gut definiert. Explizit:

• Die offensichtlichen Restriktionskarten werden zu einem Bündel.
• Multiplikation mit realen analytische Funktionen und Differenzierung sind gut definiert:

• Ein Punkt wird eine holomorphe Punkt, wenn f schränkt zu einem echten analytischen Funktion in einigen kleinen Umgebung von a genannt. Wenn es zwei holomorphe Punkte, dann Integration ist gut definiert:

• Wenn eine reelle analytische Abbildung zwischen offenen Mengen, dann Komposition bei eine gut definierte Operator: