In der Mathematik ist geometrischen Maßtheorie die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften der Sätze durch Maßtheorie. Es erlaubt, Werkzeuge aus der Differentialgeometrie zu einer viel größeren Klasse von Oberflächen, die nicht notwendigerweise glatt verlaufen.

Geschichte

Geometrische Maßtheorie wurde aus dem Wunsch, das Plateau Problem, wenn für jede glatte geschlossene Kurve dort unter allen Oberflächen, deren Grenze gleich der gegebenen Kurve existiert eine Fläche von mindestens Bereich bittet lösen geboren. Solche Oberflächen imitieren Seife Filme.

Das Problem war offen geblieben, da es wurde bereits 1760 vom Lagrange gestellt. Es wurde unabhängig in den 1930er Jahren von Jesse Douglas und Tibor Radó unter bestimmten topologischen Beschränkungen gelöst. 1960 Herbert Federer und Wendell Fleming verwendet die Theorie der Strömungen, mit denen sie in der Lage, Plateau-Problem analytisch lösen, ohne topologischen Beschränkungen, damit Funkenbildung geometrischen Maßtheorie waren. Später Jean Taylor, nachdem Fred Almgren bewiesen Plateau Gesetze für die Art der Singularitäten, die in diesen allgemeineren Seifenhäute auftreten können und Seifenblasen-Clustern.

Wichtige Begriffe

Die folgenden Begriffe sind von zentraler Bedeutung in der geometrischen Maßtheorie:

• Rectifiable Sets, die Sätze mit möglichst Regelmäßigkeit erforderlich, um ungefähre Tangentialräume zugeben.
• Varifolds, eine Verallgemeinerung des Begriffs der Mannigfaltigkeiten.
• Strömungen, eine Verallgemeinerung des Begriffs orientierten Sammelleitungen, ggf. mit Begrenzung.
• Wohnung Ketten, eine Alternative Verallgemeinerung des Begriffs der Mannigfaltigkeiten, möglicherweise mit Rand.
• Caccioppoli setzt, eine Verallgemeinerung des Begriffs der Verteiler auf dem der Divergenzsatz gilt.
• Der Bereich-Formel, die das Konzept der Veränderung der Variablen der Integration verallgemeinert.
• Die coarea Formel, die verallgemeinert und passt Satz von Fubini geometrischen Maßtheorie.
• Isoperimetrischen Ungleichheit, die besagt, dass der kleinstmögliche Umfang für einen bestimmten Bereich ist die eines runden Kreises.
• Wohnung Konvergenz, die das Konzept der vielfältigen Konvergenz verallgemeinert.

Beispiele

Brunn-Minkowski Ungleichung für den n-dimensionalen Volumen konvexer Körper K und L,

können auf einer einzigen Seite nachgewiesen werden und schnell liefert die klassische isoperimetrische Ungleichheit. Die Brunn-Minkowski-Ungleichung führt auch zu Anderson-Theorem in der Statistik. Der Beweis der Brunn-Minkowski-Ungleichung älter modernen Maßtheorie; die Entwicklung des Maßes Theorie und Lebesguesche Integration zulässigen Verbindungen zwischen Geometrie und Analyse durchgeführt werden, in dem Umfang, in einer integralen Form des Brunn-Minkowski Ungleichheit als Prekopa-Leindler Ungleichheit bekannten Geometrie scheint fast völlig.