In der Mathematik Hadamard-Ungleichung, die zuerst von Jacques Hadamard 1893 veröffentlicht wurde, ist eine Schranke für die Determinante einer Matrix, deren Einträge komplexen Zahlen in Bezug auf die Längen der Spaltenvektoren. Sich geometrisch, wenn reelle Zahlen beschränkt, begrenzt es die Lautstärke im euklidischen Raum von n Dimensionen von n Vektoren vi für 1 ≤ i ≤ n in Bezug auf die Länge dieser Vektoren || || vi zeichnet.

Insbesondere Hadamard-Ungleichung besagt, dass wenn N die Matrix mit Spalten-VI und dann

und die Gleichheit erreicht wird, wenn und nur wenn die Vektoren orthogonal sind oder wenigstens einer der Spalten 0 ist.

Alternative Formen und Folgerungen

Eine Folge ist, dass, wenn die Einträge einer n mal n Matrix N durch B begrenzt, so dass | Nij | ≤B für alle i und j, dann

Insbesondere dann, wenn die Einträge der N +1 und -1 nur dann

In Kombinatorik, Matrizen N, für die Gleichheit gilt, also solche mit orthogonalen Spalten werden als Hadamard-Matrizen.

Ein positiv semidefinite Matrix P kann als NN, wobei N die konjugierte Transponierte von N. Dann geschrieben werden

So ist die Determinante einer positiv definite Matrix kleiner oder gleich dem Produkt aus seiner Diagonaleinträge. Manchmal wird dies auch als Hadamard-Ungleichung bekannt.

Beweis

Das Ergebnis ist trivial, wenn die Matrix singulär ist N, so übernehmen die Spalten von N linear unabhängig sind. Indem jede Spalte durch seine Länge, kann gesehen werden, dass das Ergebnis entspricht dem besonderen Fall, in dem jede Spalte Länge 1, in anderen Worten, wenn ei Einheitsvektoren sind, und M ist die Matrix mit den ei als Spalten dann

und Gleichheit wird erreicht, wenn und nur wenn die Vektoren eine orthogonale Set, ist, dass, wenn die Matrix einheitlich. Jetzt das allgemeine Ergebnis folgt:

Für die positive definite Fall sei P = MM und lassen Sie die Eigenwerte von P sein λ1, λ2, ... & lgr; n. Nach Voraussetzung, wobei jeder Eintrag in der Diagonale von P 1 ist, so dass die Spur von P n ist. Die Anwendung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel,

damit

Wenn Gleichheit besteht dann jeden der & lgr; i muss alle gleich sein und ihre Summe gleich n ist, so müssen sie alle werden 1. Die Matrix P hermitesch daher diagonalizable, so dass es die Identitätsmatrix ist in anderen Worten die Spalten von M sind Orthonormalsatz und die Spalten von N sind eine orthogonale Set.

Viele andere Beweise können in der Literatur gefunden werden.