In der Mathematik ist die Hodge Indexsatz für eine algebraische Fläche V bestimmt die Unterschrift des Kreuzungspaarung auf den algebraischen Kurven C auf V. Es heißt, grob gesprochen, dass der Raum, der durch solche Kurven überspannt hat eine eindimensionale Unterraum, auf dem es positiv definite und zersetzt sich als direkte Summe von einigen solchen eindimensionalen Teilraum und einen komplementären Unterraum, auf dem es negativ definit.

In einer formalen Erklärung angeben, dass V eine nicht-singuläre projizierten Oberfläche, und sei H der Divisor Klasse V auf einer Hyperebene Abschnitt V in einer gegebenen projektiven Einbettung sein. Dann wird der Schnittpunkt

wobei d der Grad der V. Sei D der Vektorraum der rationalen Divisorenklassen auf V, bis algebraische Äquivalenz ist. Die Abmessung D ist endlich und wird üblicherweise durch ρ bezeichnet. Die Hodge Indexsatz besagt, dass der Teilraum von H in D überspannt einen komplementären Unterraum, auf dem der Schnittpunkt Paarung ist negativ definit. Daher ist die Signatur (1, ρ-1).

Die abelsche Gruppe der Divisorenklassen bis algebraische Äquivalenz heißt jetzt die Néron-Severi-Gruppe; ist es bekannt, ein endlich-erzeugte abelsche Gruppe, und das Ergebnis ist über seine Tensorprodukt mit dem rationalen Zahlkörper. Daher ist ρ gleich der Rang der Néron-Severi-Gruppe.

Dieses Ergebnis wurde in den 1930er Jahren von WVD Hodge bewiesen, für Sorten über den komplexen Zahlen, nachdem sie eine Vermutung für einige Zeit der italienischen Schule der algebraischen Geometrie gewesen. Hodge Methoden waren die topologische diejenigen in durch Lefschetz gebracht. Das Ergebnis hält über allgemeine Felder.