In der Mathematik ist Ingleton Ungleichung eine Ungleichheit, die durch die Rangfunktion aller darstellbaren Matroid erfüllt ist. In diesem Sinne ist es eine notwendige Bedingung für Darstellbarkeit eines Matroid über einem endlichen Körper. Sei M eine Matroid und sei ρ seinen Rang Funktion sein, Ingleton Ungleichheit besagt, dass für jede Teilmengen X1, X2, X3 und X4 in der Unterstützung der M die Ungleichung

Aubrey William Ingleton, ein englischer Mathematiker, schrieb ein wichtiges Papier im Jahr 1969, in dem er befragt die Darstellbarkeit Problem in Matroide. Obwohl der Artikel ist vor allem erklärend, in diesem Papier Ingleton erklärte und bewies Ingleton Ungleichung, die interessante Anwendungen in der Informationstheorie, Matroidtheorie und Netzwerkcodierung gefunden hat.

Bedeutung der Ungleichheit

Es gibt interessante Verbindungen zwischen Matroide, der Entropie Region und Gruppentheorie. Einige dieser Verbindungen werden von Ingleton Ungleichung enthüllt.

Vielleicht, desto interessanter Anwendung von Ingleton Ungleichung betrifft die Berechnung der Netzwerkcodierung Kapazitäten. Linearcodierungs Lösungen werden durch die Ungleichung eingeschränkt und es eine wichtige Konsequenz hat:

Für Definitionen siehe z.B.

Beweis

Theorem: Sei M eine darstellbare Matroid mit Rangfunktion ρ und sei X1, X2, X3 und X4 Teilmengen der Unterstützung Satz von M, der durch das Symbol E bezeichnet dann:

Um zu beweisen, die Ungleichheit, müssen wir folgendes Ergebnis zeigen:

Proposition: Let V1, V2, V3 und V4 Räume von einem Vektorraum V ist, dann

• dim dim ≥ + dim - Dim - dim dim +
• dim dim ≥ + dim - dim
• dim ≥ dim dim + + dim - dim - dim - dim - dim - dim dim +
• dim dim + + + dim dim dim + ≤ dim dim + + + dim dim dim +

Wo Vi + Vj stellen die direkte Summe der beiden Teilräume.

Beweis: Wir werden häufig verwenden die Standard-Vektorraum Identität: dim dim = + + dim dim.

1. Es ist klar, dass + V3 ⊆ ∩, dann

2. Es ist klar, dass + ⊆, dann

3. Wählen Sie aus, und wir haben:

4. Wir haben

Wenn wir hinzufügen (dim dim + + dim) an beiden Seiten der letzten Ungleichheit, wir bekommen

Da die Ungleichheit dim dim ≤ hält, werden wir mit dem Beweis beendet haben. ♣

Beweis: Es sei M eine darstellbare Matroid und A = eine Matrix sein, daß M = M zu X, Y ⊆ E = {1,2, ..., n} definiert U = & lt; {Vi: i ∈ X } & gt ;, wie die Spannweite der Vektoren Vi und definieren wir W = & lt; {Vj: j ∈ Y} & gt; entsprechend.

Wenn wir annehmen, dass U = & lt; {U1, U2, ..., ähm} & gt; und W = & lt; {w1, w2, ..., wr} & gt; dann klar haben wir & lt; {U1, U2, ..., äh, W1, W2, ..., wr} & gt; = U + W.

Daher: r = dim & lt; {vi: i ∈ X} ∪ {vj: j ∈ Y} & gt; = Dim.

Schließlich, wenn wir definieren Vi =. {Vr: r ∈ Xi} für i = 1,2,3,4, dann mit dem letzten Ungleichheit und der Position des vorstehenden Satzes, erhalten wir das Ergebnis ♣