In der Mathematik ist ein Kleinian Gruppe eine diskrete Untergruppe der PSL. Die Gruppe PSL von 2 von 2 komplexen Matrices der Determinante 1 modulo seinem Zentrum hat mehrere natürliche Darstellungen: als konforme Transformationen der Riemannschen Kugel und als orientierungserhalt Isometrien von 3-dimensionalen hyperbolischen Raum H und als orientierungserhalt konforme Karten des offene Einheitskugel B in R auf sich. Daher kann ein Kleinian Gruppe als eine diskrete Untergruppe auf einen dieser Bereiche tätig angesehen werden.

Es gibt einige Variationen von der Definition eines Kleinian Gruppe: manchmal Kleinian Gruppen dürfen Untergruppen von PSL.2 (PSL durch komplexe Konjugation erweitert) sein, mit anderen Worten, um die Orientierung Umlenkelemente haben, und manchmal sind sie davon ausgegangen sind, um endlich erzeugt werden , und manchmal sind sie verpflichtet, korrekt diskontinuierlich auf einem nicht-leere offene Teilmenge der Riemannschen Kugel handeln. Ein Kleinian Gruppe soll von Typ-1 sein, wenn die festgelegte Grenze beträgt der gesamte Bereich von Riemann und von Typ-2 nichts anderes.

Die Theorie der allgemeinen Kleinian Gruppen wurde von Felix Klein und Henri Poincaré, der sie nach dem Namen Felix Klein gegründet. Der Sonderfall der Schottky-Gruppen hatte ein paar Jahre zuvor untersucht worden, im Jahre 1877, durch Schottky.

Begriffsbestimmungen

Durch die Berücksichtigung des Balls Grenze kann ein Kleinian Gruppe auch als eine Untergruppe Γ der PGL, der komplexen projektiven linearen Gruppe, die von Möbius Transformationen auf der Riemannschen Kugel wirkt definiert werden. Klassischerweise wurde eine Kleinian Gruppe benötigt, um richtig diskontinuierlich auf einem nicht-leere offene Teilmenge der Riemannschen Kugel wirken, aber die moderne Nutzung ermöglicht es jedem einzelnen Untergruppe.

Wenn Γ isomorph zum Grundeinheit eines hyperbolischen 3-Verteiler, dann ist die Quotientenraum H / Γ zu einem Kleinian Modell des Verteilers. Viele Autoren verwenden die Begriffe Kleinian Modell und Kleinian Gruppe austauschbar und ließ die einen Stand für die anderen.

Diskretheit impliziert Punkte in B endliche Stabilisatoren und diskreten Bahnen unter der Gruppe G. Aber der Umlaufbahn Gp eines Punktes P in der Regel sammeln sich an der Grenze des geschlossenen Ball.

Die Grenze des geschlossenen Kugel heißt die Kugel im Unendlichen, und bezeichnet. Die Menge der Häufungspunkte von Gp in wird als Grenzmenge von G, und in der Regel bezeichnet. Das Komplementsystem ist die Domäne der Diskontinuität oder der gewöhnliche Satz oder die regelmäßige Satz genannt. Ahlfors "Endlichkeitssatz bedeutet, dass, wenn die Gruppe endlich dann erzeugt eine Riemannsche Fläche Orbifold endlichen Typs.

Die Einheitskugel B mit seiner konforme Struktur ist die Poincaré-Modell der hyperbolischen 3-Raum. Wenn wir daran denken metrisch, mit metrischen

es ist ein Modell der 3-dimensionalen hyperbolischen Raum H. Der Satz von konformen Selbst Karten von B wird die Gruppe von Isometrien von H unter dieser Identifizierung. Solche Karten zu beschränken, um konforme Selbst Karten, die Möbius Transformationen sind. Es gibt Isomorphismen

Die Untergruppen dieser Gruppen, bestehend aus orientierungserhalt Transformationen sind alle isomorph zur projektiven Matrix Gruppe: PSL über das übliche Identifikations der Einheitskugel mit dem komplexen projektiven Geraden P.

Endlichkeit Bedingungen

• A Kleinian Gruppe soll endlicher Typ sein, wenn die Region der Diskontinuität eine endliche Anzahl von Bahnen von Komponenten unter der Gruppenaktion und der Quotient von jeder Komponente durch die Stabilisierungsmittel ein kompaktes Riemann Oberfläche mit endlich vielen Punkten entfernt, und das Belag ist verzweigt an endlich vielen Punkten.
• Ein Kleinian Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Anzahl von Generatoren. Die Ahlfors Endlichkeitssatz sagt, dass eine solche Gruppe ist von endlichem Typ.
• Ein Kleinian Gruppe Γ endliche Kovolumen, wenn H / Γ hat Finite-Volumen. Alle Kleinian Gruppe von endlichen Kovolumen endlich erzeugt.
• Ein Kleinian Gruppe geometrisch endliche genannt ist es eine grundlegende Polyeder mit endlich vielen Seiten hat. Ahlfors hat gezeigt, dass, wenn der Grenzwert Set ist nicht die ganze Riemannschen Kugel dann Maß 0 hat.
• Ein Kleinian Gruppe Γ heißt arithmetische wenn sie kommensurabel mit der Gruppe von Einheiten in einer Größenordnung von Quaternionenalgebra A verzweigt an allen realen Orten über mehrere Körper k mit genau einem komplexen Ort ist. Arithmetic Kleinian Gruppen endlichen Kovolumen.
• Ein Kleinian Gruppe Γ heißt cocompact, wenn H / Γ ist kompakt, oder äquivalent SL / Γ ist kompakt. Cocompact Kleinian Gruppen endlichen Kovolumen.

• Ein Kleinian Gruppe heißt topologisch zahm, wenn es endlich erzeugt wird und seine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu dem Inneren eines kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand.
• Ein Kleinian Gruppe geometrisch zahm, wenn seine Enden sind entweder geometrisch endliche oder einfach entartet bezeichnet.

Beispiele

Bianchi Gruppen

Ein Bianchi-Gruppe ist ein Kleinian Gruppe der Form PSL, wobei d eine positive quadratfreie ganze Zahl ist.

Grund- und reduzierbaren Kleinian Gruppen

Ein Kleinian Gruppe heißt elementar, wenn seine Grenze Set ist endlich, in welchem ​​Fall die Grenze Set hat 0, 1 oder 2 Punkte. Beispiele für elementare Kleinian Gruppen gehören Finite Kleinian Gruppen und unendliche zyklische Kleinian Gruppen.

Ein Kleinian Gruppe heißt reduzibel, wenn alle Elemente einen gemeinsamen festen Punkt auf der Riemannschen Kugel. Reduzierbaren Kleinian Gruppen sind elementar, aber einige Grund endlichen Kleinian Gruppen reduzierbar sind es nicht.

Fuchsschen Gruppen

Alle Fuchsgruppe) ist eine Kleinian Gruppe, und umgekehrt jede Kleinian Gruppe die Erhaltung der realen Linie ist eine Fuchsgruppe. Generell ist jede Kleinian Gruppe Konservierung eines Kreises oder einer geraden Linie in der Riemannschen Kugel konjugiert zu einer Fuchsgruppe.

Koebe Gruppen

• Ein Faktor einer Kleinian Gruppe G ist eine Untergruppe H maximale unterliegt den folgenden Eigenschaften:
  • H verfügt über eine einfach zusammen invariante Komponente D
  • Ein Konjugat aus einem Element h H von einer konformen Bijektion parabolisch oder elliptisch ist, wenn und nur wenn h.
  • Alle parabolische Element von G Befestigung eines Randpunkt von D in H. ist
• Ein Kleinian Gruppe wird als Koebe Gruppe, wenn alle Faktoren sind elementare oder Fuchsschen.

Quasi-Fuchsschen Gruppen

Ein Kleinian Gruppe, die eine Jordankurve bewahrt wird als quasi-Fuchsgruppe. Wenn das Jordan-Kurve ist ein Kreis oder eine Gerade dies sind nur Konjugat Fuchsschen Gruppen unter konformen Transformationen. Endlich erzeugte quasi-Fuchsschen Gruppen konjugiert Fuchsschen Gruppen unter quasi-konforme Transformationen. Die Grenze Set wird in der invarianten Jordankurve enthalten sind, und es ist gleich der Jordan-Kurve die Gruppe wird gesagt, dass der Typ sein, ansonsten wird es gesagt, um von Typ-2 sein.

Schottky Gruppen

Lassen Ci die Randkreise einer endlichen Sammlung von disjunkte abgeschlossene Datenträger können. Die durch Inversion in jedem Kreis erzeugten Gruppe hat eine Grenze gesetzt Cantor-Menge, und der Quotient H / G ist ein Spiegel Orbifold mit zugrunde liegenden Raum eine Kugel. Es wird durch einen Doppelhenkelkörper bedeckt; der entsprechende Index 2 Untergruppe ist eine Gruppe mit dem Namen Kleinian eine Schottky-Gruppe.

Kristallographischen Gruppen

Sei T eine periodische Tessellation hyperbolischer 3-Raum sein. Die Gruppe der Symmetrien des Tessellation ist ein Kleinian Gruppe.

Grund Gruppen von hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten

Die Grundeinheit der jedem orientierte hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit ist eine Kleinian Gruppe. Es gibt viele Beispiele dafür, wie das Komplement einer Zahl 8 Knoten oder der Seifert-Weber Flächen. Umgekehrt, wenn ein Kleinian Gruppe hat keine nicht-triviale Torsionselemente dann ist es die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit.

Entartete Kleinian Gruppen

Ein Kleinian Gruppe heißt entartet, wenn es nicht elementar und ihre Grenze Satz einfach angeschlossen ist. Derartige Gruppen können, indem sie eine geeignete Grenze von quasi-Fuchsschen Gruppen aufgebaut sein, dass eine der beiden Komponenten der regulären Punkte Verträge bis ins leere Menge; Diese Gruppen können einzeln degeneriert bezeichnet. Wenn beide Komponenten des regulären Sets Vertrag bis ins leere Menge ist, dann ist die Grenze Set wird eine raumfüllende Kurve und die Gruppe wird zweifach entartet bezeichnet. Die Existenz degenerierter Kleinian Gruppen wurde zunächst indirekt durch Bers gezeigt, und der erste explizite Beispiels wurde durch Jørgensen gefunden. Kanonen & amp; Thurston nannte Beispiele für zweifach entartet Gruppen und raumfüllende Kurven verbunden sind, um Karten-Anosov Pseudo.