In der Mathematik ist die Vier-Spirale Halbgruppe eine spezielle Halbgruppe durch vier idempotent Elemente erzeugt. Diese spezielle Halbgruppe wurde zuerst von Byleen K in einer Doktorarbeit an der Universität von Nebraska im Jahr 1977 vorgelegt studierte Es hat einige interessante Eigenschaften: Es ist eines der bedeutendsten Beispiele der bi-einfachen, aber nicht vollständig, einfache Halbgruppen; es ist auch ein wichtiges Beispiel eines grundlegenden regulären Halbgruppe; es ist ein unverzichtbarer Baustein der bisimple, idempotent generierte regelmäßigen Halbgruppen. Eine gewisse Halbgruppe, genannt Doppelvierspiralhalbgruppe mit fünf idempotent Elementen erzeugt wurde ebenfalls zusammen mit dem Vierspiralhalbgruppe untersucht worden.

Definition

Das Vier-Spiralhalbgruppe durch Sp4 bezeichnet, ist die freie Halbgruppe durch die vier Elemente a, b, c und d, die den folgenden elf Bedingungen erzeugt:

Der erste Satz von Bedingungen bedeuten, dass die Elemente a, b, c, d sind Idempotenten. Der zweite Satz von Bedingungen bedeuten, dass ein R b L c R d, worin R und L sind die Greenschen Beziehungen in einer Halbgruppe. Der einzige Zustand, in dem dritten Satz als d ω a, wobei ω eine biorder Beziehung durch Nambooripad definiert geschrieben werden. Das folgende Diagramm fasst die verschiedenen Beziehungen zwischen a, b, c, d:

Elemente des Vierspiralhalbgruppe

Allgemeine Elemente

Jedes Element Sp4 eindeutig in eine der folgenden Formen geschrieben werden:

wobei m und n sind nicht negative ganze Zahlen und Bezeichnungen in Klammern verwendet werden, solange das verbleibende Produkt nicht leer ist weggelassen. Die Formen dieser Elemente bedeuten, dass Sp4 eine Trennwand Sp4 = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E, wo

Die Sätze A, B, C, D sind bicyclische Halbgruppen ist E eine unendliche zyklische Halbgruppe und der Halbgruppe D ∪ E ist eine irreguläre Halbgruppe.

Idempotent Elemente

Der Satz von Idempotenten SP4 ist {an, bn, cn, dn: n = 0, 1, 2, ...}, wo a0 = a, b0 = b = c c0, d0 = d, und für n = 0, 1, 2, ....,

Die Sätze von Idempotenten in der Halbgruppen A, B, C, D jeweils:

Vier-Spirale Halbgruppe als Rees-Matrix-Halbgruppe

Sei S die Menge aller sein vervierfacht, wobei r, s, ∈ {0, 1} und x und y positive ganze Zahlen und definieren Sie eine binäre Operation in S durch

Das Set S mit dieser Operation ist eine Rees Matrix Halbgruppe über das bicyclische Halbgruppe, und der Vier-Spirale Halbgruppe Sp4 isomorph zu S.

Immobilien

• Per Definition selbst, ist die Vier-Spirale Halbgruppe ein idempotent Halbgruppe generiert
• Das Vier-Spirale Halbgruppe ist eine grundlegende Halbgruppe, das heißt, die nur Kongruenz auf Sp4 die in der Green-Verhältnis H in SP4 enthalten ist, ist der Gleichheitsrelation.

Doppelvierspiralhalbgruppe

Die grundlegende Doppelvierspiralhalbgruppe durch DSP4 bezeichnet ist, die durch fünf Elemente a, b, c, d, e die folgenden Bedingungen erfüllen erzeugten Halbgruppe:

Der erste Satz von Bedingungen bedeuten, dass die Elemente a, b, c, d, e sind Idempotenten. Der zweite Satz von Bedingungen angeben, die Greenschen Beziehungen zwischen diesen Idempotente, nämlich a R b L c R d L e. Die beiden Bedingungen im dritten Satz bedeuten, dass e ω ein, wo ω ist die biorder Beziehung definiert als ω = ω ∩ ω.