A Kepler Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit Kantenlängen in geometrischer Progression. Das Verhältnis der Kanten eines Kepler Dreiecks dem Goldenen Schnitt verknüpften

und kann geschrieben werden :, bzw. ca. 1: 1,272: 1,618. Die Quadrate der Kanten dieses Dreiecks sind in geometrischer Progression nach dem Goldenen Schnitt.

Dreiecke mit solchen Kennzahlen werden nach dem deutschen Mathematiker und Astronom Johannes Kepler, der als erster gezeigt, dass dieses Dreieck wird durch ein Verhältnis zwischen der kurzen Seite und Hypotenuse gleich der goldene Schnitt gekennzeichnet benannt. Kepler Dreiecke verbinden zwei wichtige mathematische Konzepte der Satz des Pythagoras und der Goldene Schnitt, die Kepler zutiefst fasziniert, wie er in diesem Zitat zum Ausdruck gebracht:

Einige Quellen behaupten, daß ein Dreieck mit den Abmessungen eines Kepler Dreieck annähert kann in der Großen Pyramide von Gizeh zu erkennen.

Abstammung

Die Tatsache, dass ein Dreieck mit Kanten und bildet ein rechtwinkliges Dreieck folgt direkt aus der Definition Umschreiben des quadratischen Polynoms für den Goldenen Schnitt:

in die Form von dem Satz des Pythagoras:

Bezug auf arithmetische, geometrische und harmonische Mittel

Für positive reelle Zahlen a und b, deren arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel und harmonische Mittel sind die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn und nur wenn das Dreieck ist ein Kepler Dreieck.

Konstruieren eines Kepler Dreieck

Ein Kepler Dreieck kann nur mit Zirkel und Lineal, indem zunächst ein goldenes Rechteck aufgebaut sein:

• Konstruieren Sie eine einfache quadratische
• Zeichnen Sie eine Linie von dem Mittelpunkt einer Seite des Platzes auf eine gegenüberliegende Ecke
• Verwenden Sie diese Zeile wie der Radius, um einen Bogen, der die Höhe des Rechtecks ​​definiert zeichnen
• Füllen Sie das goldene Rechteck
• Verwenden Sie die längere Seite des goldenes Rechteck, um einen Bogen, der die gegenüberliegende Seite des Rechtecks ​​schneidet und definiert die Hypotenuse des Kepler Dreieck zu zeichnen

Kepler konstruierte das anders. In einem Brief an seinen ehemaligen Professor Michael Mästlin, schrieb er: "Wenn auf einer Linie, die im Extrem unterteilt ist und die mittlere Verhältnis eins konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck, so dass der rechte Winkel ist auf der senkrechten Put im Abschnitt Punkt, dann die kleinere Bein das größere Segment der geteilten Leitung entsprechen. "

Ein mathematischer Zufall

Nehmen Sie eine beliebige Kepler Dreieck mit Seiten und berücksichtigen:

• der Kreis, die sie umgibt, und
• ein Quadrat mit Seiten gleich der mittlere Kante des Dreiecks.

Dann werden die Umfänge des Platzes und des Kreises zusammenfallen bis zu einem Fehler von weniger als 0,1%.

Dies ist der mathematischen Zufall. Das Quadrat und der Kreis nicht exakt die gleiche Umfang, weil in diesem Fall würde man in der Lage, das klassische Problem der Quadratur des Kreises zu lösen. Mit anderen Worten, da ist eine transzendente Zahl.

Einigen Quellen zufolge, erscheint Kepler Dreiecke in der Gestaltung der ägyptischen Pyramiden. Doch die alten Ägypter wahrscheinlich nicht wissen, die mathematische Zusammentreffen mit der Anzahl und den goldenen Schnitt.