In der Mathematik, wandelt die diskrete Fourier-Transformation eine endliche Liste von gleich beabstandeten Proben einer Funktion in der Liste der Koeffizienten eines finiten Kombination von komplexen Sinuskurven, die durch ihre Frequenzen geordnet, dass die gleichen Abtastwerte hat. Es kann gesagt werden, um die abgetasteten Funktion seiner ursprünglichen Domäne in die Frequenzdomäne umzuwandeln.

Die Eingangsabtastwerte sind komplexe Zahlen, und die Ausgangskoeffizienten sind komplex als auch. Die Frequenzen der Ausgangssinuskurven sind ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz, deren entsprechende Zeit ist die Länge des Abtastintervalls. Die Kombination von Sinuskurven durch die DFT erhalten ist daher periodisch mit der gleichen Periode. Die DFT unterscheidet sich von der zeitdiskreten Fourier-Transformation, daß seine Ein- und Ausgangssequenzen sind sowohl endlich; daher wird gesagt, um die Fourier-Analyse von Finite-Domain-zeitdiskreten Funktionen sein.

Die DFT ist die wichtigste diskreten Transformation, verwendet werden, um die Fourier-Analyse in vielen praktischen Anwendungen durchzuführen. In der digitalen Signalverarbeitung ist die Funktion jeder Menge oder zu signalisieren, dass über die Zeit variiert, beispielsweise den Druck einer Schallwelle, ein Funksignal oder täglichen Messungen, über ein endliches Zeitintervall abgetastet. Bei der Bildverarbeitung können die Proben die Werte der Bildpunkte entlang einer Zeile oder Spalte eines Rasterbildes sein. Die DFT wird auch verwendet, um effizient zu lösen partielle Differentialgleichungen, und auf andere Vorgänge wie Faltungen oder Multiplikation großer Zahlen durchzuführen.

Da sie sich mit einer begrenzten Menge von Daten, kann es in den Computern von numerischen Algorithmen oder dedizierte Hardware implementiert sein. Diese Implementierungen verwenden üblicherweise effiziente schnelle Fourier-Transformation Algorithmen; so sehr, dass die Begriffe "FFT" und "DFT" werden oft synonym verwendet. Vor seiner aktuellen Nutzung, der "FFT" initialism kann auch für die mehrdeutigen Begriff "finite Fourier-Transformation" verwendet worden.

Definition

Die Sequenz von N komplexen Zahlen in ein N-periodische Folge von komplexen Zahlen umgewandelt:

Jeweils eine komplexe Zahl ist, die Amplitude und Phase einer Sinuskomponente der Funktion kodiert. Frequenz der Sinuskurve ist k / N Zyklen pro Probe. Dessen Amplitude und Phase sind:

wo atan2 ist die zwei Argumenten der arctan-Funktion. Aufgrund Periodizität ist die übliche Domäne von k tatsächlich berechnet. Das ist immer dann der Fall, wenn die DFT mit der schnellen Fourier-Transformationsalgorithmus implementiert. Jedoch anderen gemeinsamen Domänen, und wie, wenn die linken und rechten Hälften einer FFT-Ausgangsfolge vertauscht.

Die Transformation wird manchmal durch das Symbol, wie es in oder oder.

Gleichung 1 kann ausgelegt oder auf verschiedene Weise abgeleitet werden, zum Beispiel:

• Es beschreibt vollständig den zeitdiskreten Fourier-Transformation eines N-periodischen Folge, die nur diskrete Frequenzkomponenten umfasst.
• Es kann auch gleichförmig beabstandeten Abtastwerten des kontinuierlichen DTFT einer Folge mit endlicher Länge.
• Es ist die Kreuzkorrelation der Eingangssequenz, xn und eine komplexe Sinuskurve bei der Frequenz k / N. Somit wirkt es wie ein angepasstes Filter für die Frequenz.
• Es ist die diskrete Analog der Formel für die Koeffizienten einer Fourier-Reihe:

Der Normierungsfaktor Multiplikation der DFT und IDFT und die Zeichen der Exponenten sind lediglich Konventionen und unterscheiden sich in einigen Behandlungen. Die einzigen Anforderungen dieser Konventionen sind, dass die DFT und IDFT über gegenüberliegende Zeichen Exponenten und daß das Produkt aus ihrem Normalisierungsfaktoren 1 / N. Eine Normalisierung der sowohl für die DFT und IDFT, macht beispielsweise die Transformation einheitlich.

In der folgenden Diskussion werden die Begriffe "Sequenz" und "Vektor" wird als austauschbar betrachtet werden.

Immobilien

Vollständigkeit

Die diskrete Fouriertransformation eine invertierbare, lineare Abbildung

mit bezeichnet die Menge der komplexen Zahlen. Mit anderen Worten, für jedes N & gt; 0 ist, einen N-dimensionalen komplexen Vektor eine DFT und eine IDFT die wiederum N-dimensionalen komplexen Vektoren sind.

Orthogonalität

Die Vektoren bilden eine orthogonale Basis über die Menge der N-dimensionalen komplexen Vektoren:

wo ist das Kronecker-Delta. Diese Orthogonalität Zustand kann verwendet werden, um die Formel für die IDFT aus der Definition der DFT ableiten und ist äquivalent zu dem Unitarität Eigenschaft unten.

Der Satz von Plancherel und Parseval-Theorem

Wenn Xk und Yk sind die DFTs von xn und yn jeweils dann die Plancherel Theorem besagt:

wo der Stern eine komplexe Konjugation. Parseval-Theorem ist ein Spezialfall des Satzes Plancherel und Staaten:

Diese Sätze sind auch gleichbedeutend mit der einheitlichen Zustand unten.

Periodizität

Die Periodizität kann direkt aus der Definition gezeigt:

In ähnlicher Weise kann gezeigt werden, dass das IDFT Formel führt zu einer periodischen Erweiterung.

Verschiebungssatz

Multiplikation mit einer linearen Phase aus irgendeinem Zahl m entspricht einer Kreisverschiebung des Ausgangs: erhält, wobei der Index modulo N. Ähnlich Angabe, eine ringförmige Verschiebung der Eingangs entspricht Multiplizieren des Ausgangssignals von einem Linearphase. Mathematisch gesehen, wenn den Vektor x dann

Circular Faltungssatz und Kreuzkorrelationssatz

Die Faltungssatz zur zeitdiskreten Fourier-Transformation zeigt, daß eine Faltung von zwei unendlich Sequenzen sind als die inverse Transformation des Produktes der einzelnen Transformationen werden. Eine wichtige Vereinfachung tritt auf, wenn die Sequenzen von endlicher Länge, N. In Glieder der DFT und inverse DFT, kann sie wie folgt geschrieben werden:

dem die Faltung der Sequenz mit einer Sequenz, die durch periodische Addition erweitert ist:

Ähnlich wird die Kreuzkorrelation und gegeben durch:

Wenn eine der beiden Sequenzen enthält eine Zeichenfolge von Nullen, der Länge L, L + 1 der zirkularen Faltung Ausgänge entsprechen Werte wurden auch Verfahren entwickelt worden, um diese Eigenschaft als Teil eines effizienten Verfahrens, die mit einer oder einer Sequenz konstruiert potentiell viel länger verwenden als die praktische Transformationsgröße. Zwei solche Methoden werden aufgerufen Überlappungs speichern und Overlap-Add. Der Wirkungsgrad resultiert aus der Tatsache, dass eine direkte Auswertung der beiden Summation erfordert Operationen für eine Ausgangssequenz der Länge N. Ein indirektes Verfahren, mittels Transformationen, können die Vorteile der Effizienz der schnellen Fourier-Transformation auf die viel bessere Leistung zu erzielen. Darüber hinaus kann Windungen verwendet werden, um effizient zu berechnen DFTs über Raders FFT-Algorithmus und Bluestein des FFT-Algorithmus werden.

Faltungstheorem Dualität

Es kann auch gezeigt werden, dass:

Trigonometrische Interpolationspolynom

Die trigonometrischen Interpolationspolynom

wobei die Koeffizienten Xk durch die DFT von xn oben angegeben, erfüllt die Interpolation Immobilien.

Noch N, feststellen, dass die Nyquist-Komponente ist speziell behandelt.

Diese Interpolation ist nicht eindeutig: Aliasing impliziert, daß man N zu einem komplexwertigen Sinusoid Frequenzen hinzuzufügen, ohne die Interpolationseigenschaft geben, sondern unterschiedliche Werte zwischen den Punkten. Die Auswahl vor, jedoch ist typisch, weil es zwei nützliche Eigenschaften. Zunächst besteht es aus Sinuskurven, deren Frequenzen einen möglichst kleinen Grßen: die Interpolation bandbegrenzt. Zweitens, wenn die reelle Zahlen sind, so ist echte als auch.

Im Gegensatz dazu ist die offensichtlichste trigonometrischen Interpolationspolynom derjenige, in dem die Frequenzen von 0 bis, ähnlich wie die inverse DFT-Formel. Diese Interpolation nicht den Hang zu minimieren, und ist im Allgemeinen nicht reellwertige für real; seine Verwendung ist ein häufiger Fehler.

Der einheitliche DFT

Eine weitere Art, in der DFT ist zu beachten, dass in der obigen Erläuterung kann die DFT als Vandermonde-Matrix ausgedrückt werden, von Sylvester 1867 eingeleitet,

woher

ist eine primitive n-te Einheitswurzel.

Die inverse Transformation wird dann durch die Umkehrung der obigen Matrix gegeben,

Mit einheitlicher Normierungskonstanten, wird die DFT eine unitäre Transformation, durch eine Einheitsmatrix festgelegt:

wo det die Determinante Funktion. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, die immer oder wie unten beschrieben sind. In einem reellen Vektorraum kann eine unitäre Transformation einfach als eine starre Drehung des Koordinatensystems betrachtet werden, und alle von den Eigenschaften einer starren Drehung kann in der einheitlichen DFT gefunden werden.

Die Orthogonalität der DFT wird nun als eine Orthonormalitäts Bedingung ausgedrückt wird:

Wenn X die unitären DFT des Vektors x, dann definiert

und der Satz von Plancherel wird ausgedrückt

Wenn wir die DFT nur als eine Koordinatentransformation, die lediglich Informationen über die Komponenten eines Vektors in ein neues Koordinatensystem, dann ist der oben ist nur die Aussage, daß das Punktprodukt von zwei Vektoren wird unter einer einheitlichen DFT-Transformation erhalten. Für den speziellen Fall bedeutet dies, dass die Länge eines Vektors erhalten und dies ist nur Parsevals Theorem

Eine Folge der Kreis Faltungstheorem ist, dass der DFT-Matrix diagonalisiert F jede zyklische Matrix.

Mit dem Ausdruck der inversen DFT in Bezug auf die DFT

Eine nützliche Eigenschaft der DFT ist, dass die inverse DFT kann leicht hinsichtlich der DFT ausgedrückt werden, über mehrere bekannte "Tricks".

Zunächst kann man die inverse DFT zu berechnen, durch Umkehren der Eingänge:

Zweitens kann man auch zu konjugieren die Ein- und Ausgänge:

Drittens wird eine Variante dieser Konjugation Rick, was manchmal zu bevorzugen ist, weil es keine Änderung der Datenwerte benötigt, ist die Swapping Real- und Imaginärteil. Swap definieren, wie mit seinen realen und imaginären Teile getauscht dh wenn dann Swap ist. Gleichwertig ist gleich Swap. Dann

Das heißt, die inverse Transformation die gleiche wie die Vorwärts mit den realen und imaginären Teile vertauscht für Eingang und Ausgang, bis zu einer Normalisierung verändern.

Die Konjugation Trick kann auch verwendet werden, zu definieren, eine neue transformieren, eng mit der DFT bezogen werden, ist, dass involutiven das ist, was seine eigene inverse ist. Insbesondere ist klar sein eigenes inverse :. Eine eng verwandte involutiven Transformation / √2) ist, da die Faktoren, brechen Sie den 2. Für echte Eingänge, der Realteil ist nichts anderes als die diskrete Hartley-Transformation, die auch involutiven ist.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Eigenwerte der DFT-Matrix sind einfach und gut bekannt ist, während die Eigenvektoren sind kompliziert, nicht eindeutig ist, und sind Gegenstand der laufenden Forschung.

Betrachten Sie die oben für die DFT der Länge N, wobei definierte einheitliche Form

Diese Matrix entspricht der Matrix Polynomgleichung:

Dies ist aus den oben genannten Eigenschaften inverse ersichtlich: Betreiben zweimal gibt die ursprünglichen Daten in umgekehrter Reihenfolge, so dass der Betrieb von vier mal zurück gibt die ursprünglichen Daten und ist die Einheitsmatrix. Dies bedeutet, dass die Eigenwerte der Gleichung genügen:

Daher sind die Eigenwerte sind die vierten Einheitswurzeln: ist +1, -1, + i oder -i.

Da es nur vier verschiedene Eigenwerte für diese Matrix besitzen sie eine Vielheit. Die Vielzahl gibt die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für jeden Eigenwert ist.

Das Problem ihrer Vielzahl durch McClellan Region gelöst, obwohl es wurde später gezeigt, war äquivalent zu einem Problem durch Gauss gelöst. Die Vielzahl hängt von dem Wert von n modulo 4, und wird durch die folgende Tabelle:

Anders angegeben, ist das charakteristische Polynom:

Keine einfache analytische Formel für die allgemeine Eigenvektoren ist bekannt. Außerdem sind die Eigenvektoren nicht eindeutig, weil jede Linearkombination von Eigenvektoren für den gleichen Eigenwert ist auch ein Eigenvektor für diesen Eigenwert ist. Verschiedene Forscher haben verschiedene Möglichkeiten von Eigenvektoren, ausgewählt, um nützliche Eigenschaften wie Orthogonalität zu befriedigen und "einfachen" Formen haben vorgeschlagen.

Ein einfacher Ansatz ist es, eine Eigenfunktion des kontinuierlichen Fourier-Transformation, von denen die bekannteste ist die Gauß-Funktion diskretisieren. Da periodischen Summierung des Funktionsmittel sein Frequenzspektrum Diskretisierung und Diskretisierung bedeutet periodische Summierung des Spektrums ergibt die diskretisierten und periodisch summiert Gaußfunktion ein Eigenvektor der diskreten Transformation:

• .

Zwei weitere einfache geschlossener Form analytischen Eigenvektoren für besondere DFT Periode N wurden gefunden:

Für DFT Periode N = 2L + 1 = 4 K 1, wobei K eine ganze Zahl ist, ist das folgende ein Eigenvektor von DFT:

Für DFT Periode N = 2L = 4K, wobei K eine ganze Zahl ist, ist das folgende ein Eigenvektor von DFT:

Die Wahl der Eigenvektoren der DFT-Matrix hat, um zu definieren, eine diskrete Analogon des fraktionierte Fourier-Transformation durch Potenzieren der Eigenwerte die DFT-Matrix kann zu gebrochenen Potenzen genommen werden in den letzten Jahren an Bedeutung. Für die kontinuierliche Fourier-Transformation, die natürlichen orthogonalen Eigenfunktionen die Hermiteschen Funktionen wurden so verschiedene diskrete Analoga davon, wie die Eigenvektoren der DFT, wie die Kravchuk Polynome verwendet. Die "beste" Wahl der Eigenvektoren zu definieren, eine gebrochene diskreten Fourier-Transformation bleibt eine offene Frage, aber.

Unschärferelation

Ist die Zufallsvariable Xk durch eingeschränkt

dann

kann als eine diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion von n darstellen, mit einer zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der transformierten variable konstruiert werden,

Für den Fall der stetigen Funktionen P und Q, die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass

wo D0 und D0 sind die Varianzen | X | und | x | jeweils mit der Gleichberechtigung im Falle eines in geeigneter Weise normalisierten Gaußschen Verteilung erreicht. Obwohl die Varianzen können analog für die DFT definiert werden kann, ist eine analoge Unbestimmtheitsprinzip nicht sinnvoll, weil die Unsicherheit nicht verschiebungsinvarianten sein. Dennoch hat eine sinnvolle Unschärferelation von Massar und Spindel eingeführt.

Allerdings wird die Unsicherheit Hirschman entropischen eine nützliche analog zum Fall der DFT. Der Hirschman Unschärferelation ist im Hinblick auf die Shannon-Entropie der beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen ausgedrückt.

Im diskreten Fall werden die Shannon-Entropien definiert

und

und der entropischen Unschärfe wird

Die Gleichheit ist für Pn gleich Übersetzungen und Modulationen eines in geeigneter Weise normiert Kronecker Kamm der Periode A, wobei A irgendeine genaue ganzzahlige Teiler von N. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Qm wird dann proportional zu einem entsprechend übersetzten Kronecker Kamm der Periode B = N erhalten /EIN.

Die Echtzeit-Eingangs DFT

Wenn reelle Zahlen sind, wie sie oft in der Praxis, wird der DFT gehorcht der Symmetrie:

Daraus folgt, daß X0 und XN / 2 reellwertige, und der Rest der DFT ist vollständig von nur N / 2-1 komplexen Zahlen angegeben.

Generalized DFT

Ist es möglich, die Transformations Abtastung im Zeit- und / oder Frequenzbereich durch einige echte Verschiebungen a und b zu verschieben sind. Dies wird manchmal als verallgemeinerte DFT bekannt ist, auch als die DFT verschoben oder versetzt DFT und hat analoge Eigenschaften der gewöhnlichen DFT:

Meistens Verschiebungen verwendet. Während der normalen DFT entspricht einer periodischen Signals in beiden Zeit- und Frequenzbereich, ein Signal erzeugt, das anti-periodisch im Frequenzbereich und umgekehrt für die ist. Damit ist der spezifische Fall der als einer ungeraden Zeit ungeraden Frequenz diskreten Fourier-Transformation bekannt. Solche verschoben Transformationen werden am häufigsten für symmetrische Daten benutzt, um verschiedene Rand Symmetrien darzustellen, und für die Echt symmetrische Daten sie zu verschiedenen Formen der diskreten Kosinus- und Sinus-Transformation entsprechen.

Eine weitere interessante Wahl ist, das heißt die zentrierte DFT. Die zentrierte DFT besitzt die nützliche Eigenschaft, daß, wenn N ein Vielfaches von vier, alle vier Eigenwerte gleich Multiplizitäten haben

Der Begriff GDFT ist auch für die nicht-lineare Phasen Verlängerungen der DFT verwendet wird. Daher stellt GDFT Verfahren eine Verallgemeinerung für konstante Amplitude orthogonale Blocktransformationen, einschließlich linearer und nicht-linearer Phasentypen. GDFT ist ein Framework, um Zeit- und Frequenzbereich Eigenschaften des traditionellen DFT, zB verbessern Auto / Kreuz-Korrelationen, die von der Zugabe des richtig ausgelegt Phasenformungsfunktion, um den ursprünglichen linearen Phasenfunktionen.

Die diskrete Fourier-Transformation kann als Spezialfall angesehen werden, der z-Transformation, auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene beurteilt; allgemeineren z-Transformationen entsprechen den komplexen Schichten a und b oben.

Mehrdimensionale DFT

Der gewöhnliche DFT transformiert eine eindimensionale Sequenz oder Anordnung, die eine Funktion genau eine diskrete Variable n. Die mehrdimensionale DFT einer multidimensionalen Array, das eine Funktion von d diskreten Variablen in ist definiert durch:

wo, wie oben und die d-Ausgang Indizes laufen aus. Dies ist mehr kompakt in Vektorschreibweise wo wir definieren und als d-dimensionalen Vektoren von Indizes von 0 bis definieren wir wie folgt ausgedrückt:

wo die Teilung wird als auszuführende elementweise definiert werden, und die Summe bezeichnet den Satz verschachtelter Summen oben.

Der Kehrwert der mehrdimensionalen DFT ist, analog zu den eindimensionalen Fall gegeben durch:

Als der eindimensionale DFT drückt die Eingabe als eine Überlagerung von Sinuskurven, drückt die mehrdimensionale DFT die Eingabe als eine Überlagerung von ebenen Wellen oder mehrdimensionalen Sinusoide. Die Schwingungsrichtung im Raum ist. Die Amplituden sind. Diese Zersetzung ist von großer Bedeutung für alles von der digitalen Bildverarbeitung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Die Lösung wird in ebene Wellen zerlegt.

Die mehrdimensionale DFT durch die Zusammensetzung einer Sequenz von eindimensionalen DFTs entlang jeder Dimension berechnet. Im zweidimensionalen Fall die unabhängigen DFTs der Zeilen werden berechnet, um eine neue erste Anordnung zu bilden. Dann werden die unabhängigen DFTs von y entlang der Spalten werden berechnet, um das Endergebnis zu bilden. Alternativ können die Spalten und dann die Zeilen berechnet werden. Die Reihenfolge ist unerheblich, da die verschachtelten Summationen über pendeln.

Ein Algorithmus zum Berechnen einer eindimensionalen DFT genügt daher effizient Berechnen einer mehrdimensionalen DFT. Dieser Ansatz wird als die Zeilen-Spalten-Algorithmus bekannt. Es gibt auch eigen mehrdimensionalen FFT Algorithmen.

Die Echtzeit-Eingangs mehrdimensionalen DFT

Für Eingangsdaten, die aus reellen Zahlen, haben die DFT Ausgänge eine konjugierte Symmetrie ähnlich dem eindimensionalen Fall oben:

wo die Sterne wieder eine komplexe Konjugation und der -ten Index wird erneut interpretiert Modulo.

Anwendungen

Die DFT hat breite Nutzung in einer Vielzahl von Bereichen zu sehen; skizzieren wir nur ein paar Beispiele unten. Alle Anwendungen der DFT hängen entscheidend von der Verfügbarkeit eines schnellen Algorithmus, um diskrete Fouriertransformationen und ihre Inversen zu berechnen, eine schnelle Fourier-Transformation.

Spektralanalyse

Wenn die DFT für die Spektralanalyse verwendet wird, die Sequenz darstellt, in der Regel einen endlichen Satz von gleichmäßig beabstandeten Zeitproben einiger Signal, wobei t die Zeit darstellt. Die Umwandlung von kontinuierlichen Zeit Proben ändert sich die zugrunde liegenden Fourier-Transformation von x in einen zeitdiskreten Fourier-Transformation, die im allgemeinen bringt eine Art von Verzerrung als Aliasing bezeichnet. Wahl eines geeigneten Sample-Rate ist der Schlüssel zu minimieren, dass die Verzerrung. Auch die Verwendung von einer sehr langen Sequenz auf eine handhabbare Größe führt zu einer Art von Verzerrung genannt Leckage, der als Verlust von Details in der DTFT manifestiert. Wahl eines geeigneten Untersequenzlänge ist der Primärschlüssel, um diesen Effekt zu minimieren. Wenn die verfügbaren Daten über das zur Erreichung des gewünschten Frequenzauflösung zu erreichen Betrag ist ein Standardverfahren, um mehrere DFTs ausführen, beispielsweise um ein Spektrogramm zu schaffen. Falls das gewünschte Ergebnis ist ein Leistungsspektrum und Rauschen oder Zufälligkeit in den Daten vorhanden sind, die Mittelung der Größenkomponenten der Mehrfach DFTs ist ein nützliches Verfahren, um die Varianz des Spektrums zu reduzieren; Zwei Beispiele für solche Techniken sind die Welch-Verfahren und der Bartlett-Verfahren; Der allgemeine Gegenstand der Schätzung des Leistungsspektrums eines verrauschten Signals heißt Spektralschätzung.

Eine endgültige Quelle der Verzerrung ist die DFT selbst, weil es nur eine diskrete Abtastung der DTFT, die eine Funktion einer kontinuierlichen Frequenzbereich ist. Das kann durch die Erhöhung der Auflösung des DFT gemildert werden. Dieses Verfahren wird auf das Sampling DTFT dargestellt.

• Das Verfahren wird manchmal als Nullabstand, also eine bestimmte Implementierung in Verbindung mit dem Fast-Fourier-Transformation-Algorithmus bezeichnet wird. Die Ineffizienz Führen Multiplikationen und Additionen mit nullwertigen "samples" ist mehr als durch die inhärente Effizienz der FFT kompensiert.
• Wie bereits erwähnt, erlegt Leck eine Grenze für die inhärente Auflösung der DTFT. So gibt es eine praktische Grenze für die Leistung, die aus einem feinkörnigen DFT erhalten werden können.

Filterbank

Siehe FFT-Filterbänke und Abtasten des DTFT.

Datenkompression

Der Bereich der digitalen Signalverarbeitung in hohem Maße von Operationen in der Frequenzdomäne. Beispielsweise mehreren verlustbehafteten Bild und Ton-Komprimierung Verfahren verwenden die diskrete Fouriertransformation: Das Signal wird in kurze Stücke geschnitten, die jeweils transformiert, und dann werden die Fourier-Koeffizienten hoher Frequenzen, von der angenommen wahrnehmbar sein werden, werden verworfen. Der Dekomprimierer berechnet auf der Grundlage dieses verringerten Anzahl von Fourier-Koeffizienten der inversen Transformation. Einige relativ neue Komprimierungsalgorithmen verwenden jedoch Wavelet-Transformationen, die eine einheitlichere Kompromiss zwischen Zeit- und Frequenzbereich als durch Zerhacken Daten in Segmente und Transformieren jedes Segments erhalten ergeben. Im Fall von JPEG2000, vermeidet dies die falsche Bildmerkmale, die, wenn Bilder hoch mit dem Original-JPEG komprimiert angezeigt.

Partielle Differentialgleichungen

Diskrete Fourier-Transformationen werden oft verwendet, um zu lösen, partielle Differentialgleichungen, wobei wiederum die DFT wird als Näherung für die Fourier-Reihe verwendet. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass er sich ausdehnt das Signal in komplexe Exponentialfunktionen e, die Eigenfunktionen der Differenzierung sind: d / dx = e in e. So wird in der Fourier-Darstellung ist die Differenzierung einfaches wir gerade von i n zu multiplizieren. Einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist, in eine leicht lösbare algebraische Gleichung umgewandelt. Man verwendet dann die inverse DFT, um das Ergebnis wieder in den normalen räumlichen Darstellung zu transformieren. Ein solcher Ansatz wird als Spektralverfahren.

Polynommultiplikation

Angenommen, wir wollen das Polynom Produkt c berechnen möchten = a · b. Das gewöhnliche Produkt Ausdruck für den Koeffizienten C beinhaltet eine lineare Faltung, wo Indizes nicht "Umlauf". Dies kann als ein zyklischer Faltung, indem man die Koeffizientenvektoren für A und B mit konstanter Term, dann Anfügen Nullen geschrieben werden, so dass die resultierende Koeffizientenvektoren a und b die Abmessung d & gt; deg (a) + deg (b). Dann,

Wobei C der Vektor der Koeffizienten für c und der Faltungsoperator ist so definiert,

Aber Faltung wird die Multiplikation unter der DFT:

Hier das Vektorprodukt element gemacht. Somit werden die Koeffizienten des Polynoms c Produkt sind nur die Bezeichnungen 0, ..., deg (a) + deg (b) des Koeffizientenvektor

Mit einer schnellen Fourier-Transformation, die sich ergebende Algorithmus nimmt O arithmetische Operationen. Aufgrund ihrer Einfachheit und Geschwindigkeit wird die Cooley-Tukey-FFT-Algorithmus, der den zusammengesetzten Größen beschränkt wird, die oft für die Transformationsoperation ausgewählt. In diesem Fall sollte d als die kleinste ganze Zahl größer als die Summe der Eingangs Polynomgrade die faktorisierbare in kleine Primfaktoren gewählt wird.

Multiplikation großer Zahlen

Die schnellsten bekannten Algorithmen für die Multiplikation von sehr großen Zahlen verwenden Sie die Polynom-Multiplikation Methode oben beschrieben. Ganzzahlen als der Wert eines Polynoms speziell auf die Zahlenbasis ausgewertet behandelt werden, wobei die Koeffizienten des Polynoms, die den Ziffern in dieser Basis. Nach Polynommultiplikation ein relativ niedriger Komplexität Tragsfortpflanzungsschritt vervollständigt die Multiplikation.

Windung

Wenn Daten mit einer Funktion mit breiten Träger, wie zum Abwärtsabtasten von einem großen Tastverhältnis wegen der Faltungssatz und dem FFT-Algorithmus gefaltet ist, kann es schneller sein, um es umzuwandeln, multipliziere punktweise durch die Transformation des Filters und dann umkehren transformieren. Alternativ ist ein guter Filter durch einfaches Abschneiden der transformierten Daten und erneute Umwandlung des verkürzten Datensatz erhalten.

Einige diskrete Fourier-Transformationspaare

Verallgemeinerungen

Darstellungstheorie

Die DFT kann als komplexwertige Darstellung Theorie der finite zyklische Gruppe zu interpretieren. In anderen Worten, eine Folge von n komplexer Zahlen der als ein Element des n-dimensionalen komplexen Raum C oder äquivalent eine Funktion f von der endlichen zyklische Gruppe der Ordnung n zu den komplexen Zahlen, Zn → C gedacht werden also f eine Klassenfunktion auf dem endlichen zyklischen Gruppe und kann somit als eine lineare Kombination der irreduziblen Charaktere von dieser Gruppe, die die Einheitswurzeln sind ausgedrückt werden.

Von diesem Standpunkt aus kann man die DFT zur Darstellungstheorie in der Regel auf die Darstellungstheorie endlicher Gruppen zu verallgemeinern oder enger.

Enger noch kann man die DFT durch entweder eine Änderung des Sollwertes oder die Domäne zu verallgemeinern, wie in der Folge beschrieben.

Andere Felder

Viele der Eigenschaften der DFT nur von der Tatsache, dass eine primitive Einheitswurzel ist, manchmal bezeichnet oder. Solche Eigenschaften sind für die Vollständigkeit, Orthogonalität, Plancherel / Parseval, Periodizität, verschieben, Faltung und Unitarität Eigenschaften oben, wie auch viele FFT-Algorithmen. Aus diesem Grund kann die diskrete Fourier-Transformation unter Verwendung von Einheitswurzeln in anderen als den komplexen Zahlen Felder definiert werden, und solche Verallgemeinerungen werden gewöhnlich als zahlentheoretischen Transformationen bei endlichen Körpern. Für weitere Informationen siehe zahlentheoretischen Transformation und diskrete Fourier-Transformation.

Andere endlichen Gruppen

Die Standard-DFT wirkt auf eine Sequenz x0, x1, ..., xN-1 von komplexen Zahlen, die als Funktion {0, 1, ..., N - 1} betrachtet werden kann → C. Die mehrdimensionale DFT wirkt auf mehrdimensionale Sequenzen, die als Funktionen betrachtet werden

Dies legt nahe, die Verallgemeinerung, um Fourier-Transformationen auf beliebigen endlichen Gruppen, die auf Funktionen G → C handeln, wobei G eine endliche Gruppe. In diesem Rahmen ist die Standard-DFT ist ersichtlich, wie die Fourier-Transformation auf einer zyklischen Gruppe, während die mehrdimensionale DFT ist eine Fourier-Transformation auf einer direkten Summe der zyklischen Gruppen.

Alternativen

Es gibt verschiedene Alternativen zu der DFT für verschiedene Anwendungen, deutlich unter denen sind Wavelets. Das Analogon des DFT ist die diskrete Wavelet-Transformation. Vom Gesichtspunkt der Zeit-Frequenz-Analyse, eine wesentliche Einschränkung, die der Fourier-Transformation ist, dass er nicht auch Ortsinformationen nur Frequenzinformationen und hat daher Schwierigkeiten bei der Darstellung Transienten. Wie Wavelets haben Lage sowie Frequenz, sind sie besser in der Lage zu Lage repräsentieren, auf Kosten der größeren Schwierigkeiten Frequenz darstellt. Weitere Informationen finden Sie Vergleich der diskreten Wavelet-Transformation mit der diskreten Fourier-Transformation.