In der abstrakten Algebra, ist ein Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur, die mit der Struktur kompatibel ist. Jeder Kongruenzrelation eine entsprechende Quotient Struktur, deren Elemente die Äquivalenzklassen für die Beziehung.

Basic-Beispiel

Die prototypische Beispiel einer Kongruenzrelation ist Kongruenz modulo auf die Menge der ganzen Zahlen. Für eine gegebene positive ganze Zahl ist, sind zwei Ganzzahlen und rief kongruent modulo, geschrieben

wenn ist teilbar durch.

zum Beispiel, und kongruent modulo

Da ist ein Vielfaches von 10, oder äquivalent, da beide und haben ein Rest bei der Division durch.

Kongruenz modulo ist sowohl mit Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen kompatibel. Das ist,

ob

dann

Der entsprechende Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen als modulare Arithmetik bekannt. Aus der Sicht der abstrakten Algebra ist Kongruenz modulo a Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen und Rechnen modulo tritt auf der entsprechenden Quotienten Ring.

Definition

Die Definition einer Kongruenz hängt von der Art der algebraischen Struktur erwogen. Insbesondere Definitionen der Übereinstimmung für Gruppen, Ringe, Vektorräume, Module Halbgruppen, Latices hergestellt werden, und so weiter. Das gemeinsame Thema ist, daß eine Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Objektes, die mit dem algebraischen Struktur kompatibel ist, in dem Sinne, dass die Operationen auf den Äquivalenzklassen gut definiert.

Zum Beispiel ist eine Gruppe, eine algebraische Objekt aus einem Satz zusammen mit einem einzigen binären Operation, die bestimmten Axiomen. Wenn eine Gruppe ist, die mit dem Betrieb *, a Kongruenzrelation auf G eine Äquivalenzrelation ≡ auf die Elemente von G befriedigend

für alle G1, G2, h1, h2 ∈ G. Für eine Kongruenz auf eine Gruppe, ist der Äquivalenzklasse, die das Identitätselement immer ein Normalteiler, und die anderen Äquivalenzklassen sind die Nebenklassen dieses Teilkonzerns. Zusammen bilden diese Äquivalenzklassen sind die Elemente eines Quotientengruppe.

Wenn eine algebraische Struktur mehr als einen Betrieb werden Kongruenzrelationen benötigt bei jedem Vorgang kompatibel zu sein. Zum Beispiel kann ein Ring besitzt sowohl Addition und Multiplikation und eine Kongruenzrelation auf einem Ring erfüllen müssen

wenn r1 ≡ r2 und s1 s2 ≡. Für eine Kongruenz auf einem Ring, ist die Äquivalenzklasse, die 0 immer ein zweiseitiges Ideal, und die beiden Operationen auf der Menge der Äquivalenzklassen definieren die entsprechenden Quotienten Ring.

Die allgemeine Vorstellung von einem Kongruenzrelation kann eine formale Definition im Rahmen der universellen Algebra, ein Feld, das Ideen, die für alle algebraischen Strukturen studiert gegeben werden. In dieser Einstellung ist eine Kongruenz ≡ eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur, die erfüllt

für jede N-Stufen-Betrieb μ und alle Elemente a1, ..., an, a1 ', ..., an' befriedigend ai ≡ ai 'für jedes i.

Beziehung Homomorphismen

Wenn ƒ: A → B ein Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist die Beziehung ≡ definiert durch

ist ein Kongruenzrelation. Mit dem ersten Isomorphiesatz, das Bild von A unter ƒ ist eine Unterstruktur B isomorph zu dem Quotienten aus A durch diese Kongruenz.

Kongruenzen Gruppen und Normalteiler und Ideale

Wenn G eine Gruppe und ~ ist eine binäre Relation auf G, dann ~ ist eine Kongruenz, wenn: Im besonderen Fall von Gruppen kann Kongruenzrelationen in elementaren Begriffe wie folgt beschrieben werden:

• Jedes gegebene Element a von G, a ~ a;
• Angesichts beliebige Elemente a und b von G, wenn ein ~ b, dann b ~ a;
• Angesichts beliebigen Elementen a, b, und c von G, wenn a ~ b und b ~ c, dann a ~ c;
• Gegeben sind a, a ', b und b' von G, wenn ein ~ a 'und b ~ b' ist, dann a * b ~ a * = b ';
• Gegeben sind a und a 'von G, wenn a ~ a', dann a ~ a '.

Bedingungen 1, 2, und 3 sagen, dass ~ eine Äquivalenzrelation.

Eine Kongruenz ~ wird vollständig von der Menge {a ∈ G: a ~ e} bestimmt dieser Elemente von G, die deckungsgleich mit dem Einselement sind, und dieser Satz ist ein Normalteiler. Insbesondere a ~ b, wenn und nur wenn b * a ~ e. Also statt reden über Kongruenzen auf Gruppen, die Menschen sprechen in der Regel in Bezug auf die Normalteiler von ihnen; in der Tat, entspricht jede Kongruenz eindeutig bis zu einem gewissen Normalteiler von G.

Ideale der Ringe und der allgemeine Fall

Ein ähnlicher Trick erlaubt es, von Kernen in Ringtheorie als Ideale statt Kongruenzrelationen zu sprechen, und in Modultheorie als Submodule statt Kongruenzrelationen.

Die allgemeine Situation, wo dieser Trick ist möglich, mit Omega-Gruppen. Dies kann jedoch nicht durchgeführt werden, beispielsweise Halbgruppen, so dass die Untersuchung der Kongruenzrelationen spielt eine zentrale Rolle in monoid Theorie.

Universelle Algebra

Die Idee ist in universellen Algebra verallgemeinert: A Kongruenzrelation auf einer Algebra A ist eine Teilmenge des direkten Produktes A × A, die sowohl eine Äquivalenzrelation auf A und eine Unteralgebra von A × A. ist

Der Kern eines Homomorphismus ist immer eine Kongruenz. Tatsächlich stellt jeder Übereinstimmung als Kernel. Für eine gegebene Kongruenz ~ auf A kann der Satz A / ~ der Äquivalenzklassen, die die Struktur einer Algebra auf natürliche Art und Weise gegeben werden, den Quotienten Algebra. Die Funktion, die jedes Element von A zu dessen Gleichwertigkeit Klasse ordnet ein Homomorphismus, und der Kern dieses Homomorphismus ist ~.

Die Gitter Con aller Kongruenzrelationen auf einer Algebra A algebraisch.