In der Differentialgeometrie, die Kosmann Lift, nach Yvette Kosmann-Schwarzbach benannt, der ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist die kanonische Projektion auf die Orthonormalrahmen Bündel von seiner natürlichen Auftrieb an der Bündel von linearen Rahmen definiert.

Verallgemeinerungen gibt es für jede gegebene reduktive G-Struktur.

Einbringen

Im allgemeinen bei einer Teilbündel aus einem Faserbündel über und einem Vektorfeld auf, die Beschränkung auf ein Vektorfeld "zusammen" nicht auf. Wenn man von der kanonischen Einbettung zeigt, wird dann ein Abschnitt der Rückzugbündels, wobei

und der Tangens Bündel des Faserbündels. Nehmen wir an, dass wir eine Kosmann Zersetzung des Pullback Bündel, so dass angesichts

dh an jeder hat, wo ist ein Untervektorraum von und wir übernehmen, um ein Vektorbündel vorbei sein, die so genannte Querbündel des Kosmann Zersetzung. Daraus folgt, dass die Beschränkung auf in einer Tangentenvektorfeld teilt und eine Quervektorfeld ein Abschnitt der Vektorbündel

Definition

Lassen Sie Die orientierten Orthonormalrahmen Bündel aus einem orientierten dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit mit gegebenen Metrik. Dies ist ein Haupt -subbundle der die Tangente Rahmenbündel linear Frames über mit Strukturgruppe. Per Definition kann man sagen, dass wir es mit einem klassischen reduktive -Struktur angegeben. Die spezielle orthogonale Gruppe ist eine reduktive Lie Untergruppe von. In der Tat gibt es eine direkte Summenzerlegung, wo ist der Lie-Algebra der ist die Lie-Algebra von und ist die -invariant Untervektorraum von symmetrischen Matrizen, dh für alle

Lassen Sie die kanonische Einbettung.

Man kann dann zeigen, dass es eine kanonische Kosmann Zersetzung des Rückzugsbündels derart, dass

dh an jeder hat als die Faser über der Teilbündel aus. Hier ist der vertikale Teilbündel von und an jedem die Faser isomorph zu dem Vektorraum der symmetrischen Matrizen.

Aus der obigen kanonischen und äquivariante Zersetzung, folgt daraus, dass die Beschränkung eines -invarianten Vektorfeld auf, um Teilungen in eine -invarianten Vektorfeld auf, die so genannte Kosmann Vektorfeld zugeordnet ist, und eine Quervektorfeld.

Insbesondere für eine generische Vektorfeld auf dem Basisverteiler, folgt, dass die Beschränkung auf seiner natürlichen heben, die Splits in einer -invarianten Vektorfeld auf, die so genannte Kosmann Hub, und eine Quervektorfeld.