Ein irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil, in dem der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sind, die keine anderen gemeinsamen Teiler als 1. Mit anderen Worten haben, ist ein Bruch /b irreduziblen dann, wenn a und b teilerfremd sind, dh, wenn a und b haben einen größten gemeinsamen Teiler von 1. In der höheren Mathematik, "irreduzibler Bruch" kann auch auf nicht reduzierbare rationale Brüche beziehen.

Eine entsprechende Definition ist manchmal hilfreich: Wenn a, b ganze Zahlen sind, so liegt der Anteil /b irreduzibel wenn und nur wenn es keinen anderen gleich großen Anteil /d so dass | c | & lt; | a | oder | d | & lt; | b |, wobei | a | bedeutet den Absolutwert von a ist.

Zum Beispiel /4, /6 und /100 sind alle irreduziblen Fraktionen. Andererseits /4 nicht irreduziblen da es gleich dem Wert /2 und der Zähler der letztgenannten kleiner als der Zähler des ersteren.

Eine Fraktion, die reduzierbar ist, kann durch Aufteilen sowohl der Zähler und der Nenner durch einen gemeinsamen Faktor reduziert werden. Es kann vollständig zum niedrigsten Begriffe reduziert werden, wenn beide von ihren größten gemeinsamen Teiler aufgeteilt. Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, können euklidischen Algorithmus oder Primfaktorzerlegung verwendet werden. Euklidischen Algorithmus wird bevorzugt, weil es, um Fraktionen mit Zähler und Nenner zu groß, um leicht berücksichtigt werden reduzieren.

Beispiele

Im ersten Schritt beide Nummern wurden durch 10 dividiert, was eine beiden gemeinsame 120 und 90. In der zweiten Stufe Faktor ist, werden sie von 3. Das Endergebnis unterteilt wurden, / 3 ist ein irreduzibler Bruch ist, da 4 und 3 weisen keine Ausnahme 1 gemeinsame Faktoren.

Die ursprüngliche Fraktion könnte auch in einem einzigen Schritt mit Hilfe der größte gemeinsame Teiler von 90 und 120, die gcd = 30 würde verringert.

Welche Methode ist schneller "von Hand" ist abhängig von der Fraktion und der Leichtigkeit, mit der gemeinsamen Faktoren gesichtet werden. Falls ein Nenner und Zähler bleiben, die zu groß, um sicherzustellen, dass sie durch Inspektion teilerfremd, ein größter gemeinsamer Teiler Berechnung wird trotzdem benötigt, um den Anteil zu gewährleisten ist eigentlich irreduzibel sind. 12/14

Einzigartigkeit

Jede rationale Zahl hat eine eindeutige Darstellung als irreduzible Fraktion mit einem positiven Nenner. Einzigartigkeit ist eine Folge der einzigartigen Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen, da impliziert ad = bc und so beide Seiten der letzteren müssen die gleiche Primfaktorzerlegung teilen, aber Sie und teilen keine Primfaktoren, so dass die Menge der Primfaktoren ist eine Teilmenge von denen der und umgekehrt Sinn und.

Verallgemeinerung

Der Begriff irreduzibler Bruch verallgemeinert Bereich von Bruchteilen von jedem faktoriell: jedes Element einer solchen Feld kann als ein Bruchteil, in dem Zähler und Nenner teilerfremd geschrieben werden, durch Teilen sowohl durch ihr größter gemeinsamer Teiler. Dies gilt insbesondere für rationale Ausdrücke über einem Feld. Die irreduzibler Bruch für ein gegebenes Element ist bis auf Multiplikation der Nenner und Zähler von der gleichen invertierbare Element. Im Fall der rationalen Zahlen bedeutet dies, dass eine beliebige Anzahl zwei irreduziblen Fraktionen, die durch eine Änderung des Vorzeichens der Zähler und Nenner bezieht; Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Forderung der Nenner positiv entfernt werden. Im Fall der rationalen Funktionen könnte der Nenner ähnlich benötigt, um ein normiertes Polynom sein.