Foster Reaktanz Satz ist ein wichtiges Satz im Bereich der Netzwerkanalyse und Synthese. Das Theorem besagt, daß die Reaktanz aus einem passiven, lossless Zweipol immer streng monoton mit der Frequenz zunimmt. Es ist leicht zu sehen, dass die Blindwiderstände der Spulen und Kondensatoren individuell mit Frequenz und aus diesem Grund ein Beweis für die passive verlustfreie Netze können in der Regel gebaut werden zu erhöhen. Der Beweis des Satzes wurde von Ronald Martin Foster im Jahr 1924 vorgestellt, obwohl das Prinzip hatte zuvor von Fosters Kollegen von American Telephone & amp veröffentlicht wurde; Telegraph.

Der Satz kann auf Admittanzen und dem umfassenden Konzept der immittances verlängert werden. Eine Folge der Foster-Theorem ist, dass Pol- und Nullstellen der Reaktanz muß mit der Frequenz zu wechseln. Foster verwendet diese Eigenschaft, um zwei Normalformen zur Realisierung dieser Netze zu entwickeln. Fosters Arbeit war ein wichtiger Ausgangspunkt für die Entwicklung von Netzwerk-Synthese.

Es ist möglich, nicht-Foster Netzwerken mit aktiven Komponenten wie beispielsweise Verstärker zu konstruieren. Diese können eine Impedanz äquivalent zu einer negativen Induktivität oder Kapazität zu erzeugen. Die negative Impedanzwandler ist ein Beispiel einer derartigen Schaltung.

Erläuterung

Reaktanz der imaginäre Teil der komplexen elektrischen Impedanz. Beide Kondensatoren und Induktivitäten besitzen Reaktanz und frequenzabhängig sind. Die Angabe, dass das Netz passive und verlustfrei bedeutet, dass es keine Widerstände oder Verstärkern oder Energiequellen im Netzwerk. Das Netz muss daher vollständig aus Spulen und Kondensatoren bestehen und die Impedanz wird lediglich eine imaginäre Zahl mit Null-Realteil sein. Foster Theorem gilt gleichermaßen für die Aufnahme eines Netzwerks, das die Suszeptanz eines passiven, verlustfreie Ein-Tor monoton mit der Frequenz erhöht, ist. Dieses Ergebnis mag kontraintuitiv, da Admittanz ist der Kehr Impedanz, aber leicht zu beweisen. Liegt die Impedanz

wo Reaktanz und die imaginäre Einheit ist, dann ist die Admittanz ist gegeben durch

wo ist Suszeptanz.

Wenn X monoton steigend mit der Frequenz dann 1 / X muss monoton fallend. -1 / X muss daher sein, monoton wachsende und damit nachgewiesen wird, dass B nimmt ebenfalls zu.

Es ist oft in der Netzwerktheorie der Fall, dass ein Prinzip oder Verfahren trifft auch auf Impedanz oder Admittanz reflektiert das Prinzip der Dualität für elektrische Netze. Es ist bequem in diese Umstände, um das Konzept der Immittanz, die entweder Impedanz oder Admittanz kann bedeuten, zu verwenden. Die Mathematik wird ohne Angabe von Einheiten, bis es erwünscht ist, das ein spezifisches Beispiel Berechnung durchgeführt. Foster-Theorem kann somit in einer allgemeineren Form, wie festgestellt werden,

Foster-Theorem ist ziemlich allgemein. Insbesondere gilt es für verteilte Element Netzwerken, wenn auch Foster formuliert es in Bezug auf diskreten Induktoren und Kondensatoren. Es ist daher anwendbar bei Mikrowellenfrequenzen ebenso wie es bei niedrigeren Frequenzen ist.

Beispiele

Die folgenden Beispiele illustrieren diesen Satz in einer Reihe von einfachen Schaltungen.

Induktivität

Die Impedanz einer Induktionsspule gegeben durch

so ist die Reaktanz,

die durch Inspektion kann gesehen werden, monoton steigende mit der Frequenz.

Kondensator

Die Impedanz eines Kondensators gegeben durch

so ist die Reaktanz,

die wieder monoton steigend mit der Frequenz. Die Impedanzfunktion des Kondensators identisch ist mit der Admittanz in Abhängigkeit von der Induktivität und umgekehrt. Es ist eine allgemeine Ergebnis, dass die Doppel jeder Immittanz Funktion, die Foster-Theorem gehorcht auch Foster-Theorem zu folgen.

Reihenschwingkreis

Ein LC-Reihenschaltung eine Impedanz aufweist, die Summe der Impedanzen von einem Induktor und einem Kondensator ist,

Bei niedrigen Frequenzen ist die Reaktanz des Kondensators dominiert und so groß ist, und negativ ist. Dies erhöht sich monoton auf Null. Die Reaktanz durch Null an dem Punkt, wo die Größen der Kondensator und die Induktivität Reaktanzen gleich sind, und fährt dann fort, sich monoton zu erhöhen, wie der Induktor Reaktanz wird zunehmend dominant.

Parallelschwingkreis

Eine parallele LC-Schaltung ist das doppelte der Reihenschaltung und damit dessen Admittanz-Funktion ist die gleiche Form wie die Impedanz in Abhängigkeit von der Reihenschaltung,

Die Impedanzfunktion ist,

Bei niedrigen Frequenzen ist die Reaktanz durch den Induktor dominiert und ist klein und positiv. Dies erhöht sich monoton auf eine Polstelle bei der Antiresonanzfrequenz, bei der die Suszeptanz von dem Induktor und Kondensator gleich und entgegengesetzt und heben. Hinter dem Pol der Blindwiderstand ist groß und negativ zunehmenden Richtung Null, wo es durch die Kapazität dominiert.

Polen und Nullen

Eine Folge der Foster-Theorem ist, dass die Pole und Nullen jeder passive Immittanz Funktion muss mit zunehmender Frequenz zu wechseln. Nach dem Durchlaufen einer Stange die Funktion negativ sein und ist verpflichtet, durch Null vor dem Erreichen des nächsten Pols übergeben, wenn es ist, werden monoton steigend.

Die Pole und Nullen eines Immittanz Funktion die Frequenzeigenschaften eines Foster Netzwerk vollständig zu bestimmen. Foster zwei Netzwerke, die gleiche Pole und Nullen haben wird Ersatzschaltungen in dem Sinne, dass ihre Schwingfähigkeitsfunktionen identisch sein. Es kann ein Skalierungsfaktor Unterschied zwischen ihnen, aber die Form der beiden Immittanz Funktionen identisch sein.

Eine weitere Folge der Foster-Theorem ist, dass die Phase eines Immittanz müssen monatonically mit der Frequenz zu erhöhen. Folglich muss die Handlung eines Foster Immittanz Funktion auf einem Smith-Diagramm, immer um das Diagramm reisen im Uhrzeigersinn mit zunehmender Frequenz.

Realisierung

Ein Ein-Tor passive Immittanz aus diskreten Elementen kann als eine rationale Funktion von s dargestellt werden,

Dies folgt aus der Tatsache, die Impedanz von L und C-Elemente sind selbst einfache rationale Funktionen und jede algebraische Kombination von rationalen Funktionen führt zu einer weiteren rationalen Funktion.

Dies wird manchmal als die Antriebspunktimpedanz bezeichnet, weil es die Impedanz an dem Ort in dem Netzwerk, zu dem die externe Schaltung angeschlossen ist, und "Antriebe" es mit einem Signal. In seinem Vortrag beschreibt Foster, wie eine solche verlustfreie rationale Funktion kann auf zwei Arten realisiert werden. Foster erste Form besteht aus einer Anzahl von in Reihe geschalteten parallelen LC-Schaltungen. Foster zweite Form der Antriebspunktimpedanz besteht aus einer Anzahl von parallel verbundenen LC-Reihenschaltungen. Die Realisierung der Antriebspunktimpedanz ist keineswegs einzigartig. Fosters Realisierung hat den Vorteil, dass die Pole und / oder Nullen sind direkt mit einer bestimmten Resonanzkreis verbunden, aber es gibt viele andere Schreibweisen. Vielleicht der bekannteste ist Cauer Leiter Realisierung von Filterdesign.

Non-Foster-Netzwerke

A Foster Netz muss passiv sein, so dass ein aktives Netzwerk, enthält eine Stromquelle kann nicht Foster Theorem gehorchen. Diese werden als nicht-Foster-Netzwerke. Insbesondere können Schaltungen, die einen Verstärker mit positiver Rückkopplung haben Reaktanz, die mit der Frequenz abnimmt. Beispielsweise ist es möglich, negative Kapazität und Induktivität mit negativer Impedanzwandler-Schaltungen zu schaffen. Diese Stromkreise müssen eine Immittanz Funktion mit einer Phase von ± & pgr; / 2 wie eine positive Blindwiderstand als eine Reaktanz Amplitude mit einer negativen Steigung der Frequenz.

Diese sind von Interesse, weil sie Aufgaben einer Pflege Netzwerk nicht erreichen. Beispielsweise können die üblichen passiven Foster Impedanzanpassungsnetzwerke nur die Impedanz eines Antennenanpassung mit einer Übertragungsleitung bei diskreten Frequenzen, die die Bandbreite der Antenne begrenzt. Ein nicht-Foster Netzwerk könnte eine Antenne über einen kontinuierlichen Frequenzband entsprechen. Dies würde die Schaffung von kompakten Antennen, die eine große Bandbreite haben zu ermöglichen, die Verletzung der Chu-Harrington Grenze. Praktisch nicht-Foster-Netzwerke sind ein aktives Forschungsgebiet.

Geschichte

Der Satz wurde bei American Telephone & amp entwickelt; Telegraph als Teil der laufenden Untersuchungen in verbesserte Filter für Telefon Multiplex-Anwendungen. Diese Arbeit war kommerziell wichtiger; große Summen könnte durch die Erhöhung der Anzahl von Telefongesprächen, die in einer Zeile durchgeführt werden konnte gerettet werden. Der Satz wurde zuerst von Campbell im Jahre 1922, aber ohne Beweis veröffentlicht. Großen Einsatz wurde sofort der Satz in Filter-Design gemacht, scheint es, prominent, zusammen mit einem Beweis, in Zobel Wahrzeichen Papier von 1923, die den Stand der Technik der Filterentwurf zu dieser Zeit zusammengefasst. Foster veröffentlicht sein Papier im folgenden Jahr, die seine kanonische Realisierungsformen enthalten.

Cauer in Deutschland begriffen, wie wichtig Fosters Arbeit und verwendete es als Grundlage der Netzwerksynthese. Unter Cauer vielen Neuerungen war die Ausweitung der Fosters Arbeit für alle 2-Element-Art-Netzwerke nach der Entdeckung einen Isomorphismus zwischen ihnen. Cauer war daran interessiert, die notwendige und hinreichende Bedingung für die Realisierbarkeit einer rationalen Ein-Tor-Netzwerk von seinem Polynomfunktion, ein Zustand, nun bekannt, dass ein positiv reelle Funktion, und das umgekehrte Problem, von denen Netze gleichwertig waren, das heißt, musste das gleiche Polynom-Funktion. Beides waren wichtige Probleme bei der Netzwerktheorie und Filterdesign. Foster Netzwerke sind nur eine Teilmenge der realisierbaren Netzwerken