Handschlaglemma

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In der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das Handschlaglemma die Aussage, dass jede endliche ungerichteter Graph eine gerade Anzahl von Scheitelpunkten mit ungeradem Grad. In mehr umgangssprachlichen Begriffen, in einer Gruppe von Menschen, von denen einige die Hände schütteln, eine gerade Anzahl von Menschen muss eine ungerade Anzahl von Händen anderer Leute erschüttert haben.

Die Handschlaglemma ist eine Folge des Grades Summenformel,

für einen Graphen mit Eckenmenge V und Kantenmenge E. Beide Ergebnisse wurden durch Leonhard Euler in seiner berühmten Abhandlung über die Königsberger Brückenproblem, dass die Studie der Graphentheorie begann bewährt.

Die Ecken ungeraden Grades in einem Diagramm werden manchmal auch als Knoten oder ungerade ungerade Ecken; in dieser Terminologie kann die Handschlaglemma wie die Aussage, dass jeder Graph eine gerade Anzahl von ungeraden Knoten angepasst werden.

Beweis

Nachweis des Grades Summenformel Eulersche verwendet die Technik von Doppel: Er zählt die Anzahl der einfallenden Paaren, wobei e eine Kante und Vertex v ist eine seiner Endpunkte, auf zwei verschiedene Arten. Vertex v gehört zu Paaren DEG, wo die DEG ist die Anzahl der Kanten Vorfall zu. Daher ist die Anzahl der einfallenden Paaren ist die Summe der Grade. Jede Kante in dem Graphen gehört jedoch genau zwei einfallenden Paaren, eines für jeden der Endpunkte; daher ist die Anzahl der einfallenden Paare 2 | E |. Da diese beiden Formeln zählen die gleiche Menge von Objekten, sie müssen gleiche Werte haben.

Bei einer Summe der ganzen Zahlen, wird die Parität der Summe von den gleichen Bedingungen in der Summe betroffen ist; die Gesamtsumme ist, selbst wenn es eine gerade Anzahl von ungeraden Terme, und ungerade, wenn es eine ungerade Anzahl von ungeraden Terme. Da eine Seite der Grad Summenformel ist die gerade Zahl 2 | E | muss die Summe auf der anderen Seite eine gerade Anzahl von ungeraden Terme haben; das heißt, es muss eine gerade Anzahl von odd-Grad-Ecken.

Alternativ ist es möglich, die mathematische Induktion verwenden, um zu beweisen, daß die Anzahl von ungeradzahligen Grad Ecken geradzahlig ist, durch Entfernen einer Kante zu einem Zeitpunkt von einer gegebenen Graphen und mit einem Fallanalyse auf den Grad ihrer Endpunkte, um die Wirkung dieses festzustellen Entfernung von der Parität der Zahl der ungeraden Grades Ecken.

Reguläre Graphen

Der Grad Summenformel bedeutet, dass jede r-reguläre Graph mit n Ecken hat nr / 2 Kanten. Insbesondere dann, wenn R ungerade ist dann die Anzahl der Kanten muss teilbar durch r sein.

Unendliche Graphen

Die Handschlaglemma nicht auf unendliche Graphen gelten, auch wenn sie nur eine endliche Anzahl von ungeraden Grades Ecken haben. Zum Beispiel eine unendliche Weg Diagramm mit einem Endpunkt nur eine einzige ungeraden Grades Scheitel anstatt eine gerade Anzahl solcher Knoten.

Exchange-Diagramme

Mehrere von Cameron & amp aufgeführt kombinatorischen Strukturen; Edmonds kann gezeigt, dass auch in der Zahl von ihnen im Zusammenhang mit den ungeraden Ecken in einem geeigneten "Austausch Graph" betrachtet werden.

Zum Beispiel als CAB Smith erwiesen, in jeder Kubik Graph G muss eine gerade Zahl von Hamilton zyklisch durch jede feste Kante uv sein; Thomason verwendet einen Beweis auf der Grundlage der Handschlaglemma, um dieses Ergebnis zu Graphen G, in dem alle Ecken haben ungeradem Grad erstrecken. Thomason definiert eine Wechsel Graphen H, die Scheitel davon sind in einer Eins-zu-eins-Korrespondenz mit der Hamiltonpfade, beginnend bei u und weiter durch v. Zwei solcher Wege P1 und P2 sind durch eine Kante in H, wenn man kann p2 erhalten verbunden Hinzufügen eines neuen Rand zu dem Ende p1 und Entfernen weitere Kante von der Mitte P1; Dies ist eine symmetrische Beziehung, so dass H ein ungerichteter Graph. Wenn p Pfad endet an Knoten w, dann der Scheitelpunkt entsprechend P in H hat Grad gleich der Anzahl von Möglichkeiten, wie p kann durch eine Kante, die nicht zurück zu verbinden ist, um u verlängert werden; das heißt, der Grad dieser Scheitelpunkt in H entweder Grad - 1, wenn p nicht Bestandteil eines Hamiltonschen Kreis durch UV-oder Grad - 2, wenn p ist Teil eines Hamiltonschen Kreis durch UV. Da H eine gerade Anzahl von ungeraden Ecken muss G eine gerade Anzahl von Hamiltonzyklen durch uv haben.

Rechenkomplexität

Im Zusammenhang mit dem Austausch graphische Methode für den Nachweis der Existenz der kombinatorischen Strukturen von Interesse ist es zu fragen, wie effizient diese Strukturen gefunden werden. Angenommen, man wird als Eingang einen Hamiltonschen Kreis in einem kubischen Graphen gegeben; folgt aus Smith-Theorem, dass es einen zweiten Zyklus. Wie schnell kann diese zweite Zyklus gefunden werden? Papadimitriou sucht die rechnerische Komplexität von Fragen wie diese, oder allgemeiner der Suche nach einem zweiten ungeraden Grades Vertex, wenn man einen einzelnen ungeraden Scheitelpunkt in einem großen implizit definierten Graphen angegeben. Er definierte die Komplexitätsklasse PPA, um Probleme wie diesem zu kapseln; ein eng verwandtes Klasse auf gerichteten Graphen definiert, PPAD, hat erhebliche Aufmerksamkeit in der algorithmischen Spieltheorie angezogen, weil das Berechnen eines Nash-Gleichgewicht ist rechnerisch entspricht der schwierigsten Probleme in dieser Klasse.