Das Happy Ending Problem ist, folgende Erklärung ab:

Dies war einer der ersten Ergebnisse, die für die Entwicklung der Ramseytheorie geführt.

Das Happy Ending Satz kann durch einen einfachen Case-Analyse nachgewiesen werden: Wenn vier oder mehr Punkte sind Eckpunkte der konvexen Hülle können vier derartige Punkte gewählt werden. Wenn auf der anderen Seite der Punktmenge hat die Form eines Dreiecks mit zwei Punkten darin, die beiden inneren Punkten und einer der Dreieckseiten gewählt werden können. Siehe Peterson für eine illustrierte Erklärung dieser Beweis und Morris & amp; Soltan für eine detailliertere Übersicht über das Problem, als wir hier.

Das Erdős-Szekeres Vermutung besagt gerade eine allgemeine Beziehung zwischen der Anzahl von Punkten in einer allgemeinen Position Punkt gesetzt und seine größte konvexe Polygon. Es bleibt unbewiesen, aber weniger präzise Grenzen bekannt sind.

Größere Polygone

Erdős & amp; Szekeres bewiesen die folgende Verallgemeinerung:

Der Beweis erschien in der gleichen Zeitung, die die Erdős-Szekeres Satz über monotone Teilsequenzen in Folgen von Zahlen beweist.

Sei f sei die minimale M, für die eine Reihe von M Punkten in allgemeiner Lage muß eine konvexe N-gon enthalten. Es ist bekannt, dass

• f = 3, trivial.
• f = 5.
• f = 9. Ein Satz von acht Punkten ohne konvexen Fünfeck wird in der Abbildung dargestellt, die zeigen, dass f & gt; 8; desto schwieriger Teil des Beweises ist, zu zeigen, dass jeder Satz von neun Punkten in allgemeiner Lage enthält die Eckpunkte eines konvexen Fünfecks.
• f = 17.
• Der Wert von f ist für alle N & gt unbekannt; 6; durch das Ergebnis der Erdős & amp; Szekeres ist bekannt, endlich ist.

Auf der Grundlage der bekannten Werte von f für N = 3, 4 und 5, Erdős und Szekeres vermutet in ihrem ursprünglichen Papier,

Sie erwiesen sich später durch den Bau von expliziten Beispielen, dass

aber der beste bekannte obere gebunden, wenn N ≥ 7

Leere konvexe Polygone

Man kann auch die Frage der, ob eine ausreichend große Menge von Punkten in allgemeiner Lage hat einen leeren konvexen Viereck, Fünfeck usw., das heißt, eine, die keine andere Eingangspunkt enthält. Die ursprüngliche Lösung der Happy Ending Problem kann angepasst werden, um zu zeigen, dass alle fünf Punkten in allgemeiner Lage eine leere konvexes Viereck, wie in der Abbildung gezeigt, und alle zehn Punkten in allgemeiner Lage eine leere konvexen Fünfecks. Es gibt jedoch beliebig große Mengen von Punkten in allgemeiner Lage, die keine leeren konvexen heptagon enthalten.

Für eine lange Zeit die Frage nach der Existenz von leeren Sechsecke blieb offen, aber Nicolás und Gerken bewiesen, dass jeder ausreichend große Stelle im allgemeinen Position enthält eine konvexe leer Sechseck. Genauer Gerken zeigten, dass die Anzahl von Punkten benötigt wird, ist nicht mehr als f für die gleiche Funktion f oben definiert, während Nicolás zeigten, dass die Anzahl von Punkten benötigt wird, ist nicht mehr als f. Valtr liefert eine Vereinfachung der Gerken ist der Beweis, dass jedoch mehr Punkte benötigt, anstelle von F F. Mindestens 30 Punkte benötigt: es gibt eine Reihe von 29 Punkten in allgemeiner Lage ohne leere konvexen Sechseck.

Verwandte Probleme

Das Problem, Sätze von n Punkten Minimierung der Anzahl der konvexen Vierecke entspricht der Minimierung der Kreuzungsnummer in einer linearen Darstellung einer vollständigen Graphen. Die Anzahl der Vierecke ist proportional zur vierten Potenz von n sein, aber die genaue konstante nicht bekannt ist.

Es ist einfach, dass im höherdimensionalen euklidische Räume ausreichend große Mengen von Punkten wird eine Teilmenge der k-Punkte, die die Ecken eines konvexen Polytops bildet, für jedes k größer als die Dimension zeigen: Dies ergibt sich unmittelbar aus Existenz konvexen k-Ecke in ausreichend große ebene Punktmengen, durch Projektion der in eine beliebige zweidimensionale Teilraum eingestellt höherdimensionalen Punkt. Jedoch kann die Anzahl von Punkten erforderlich, k Punkte in konvexer Position zu finden in höheren Dimensionen kleiner ist als in der Ebene ist, und es ist auch möglich, Teilmengen, die stärker eingeschränkt sind zu finden. Insbesondere in d Dimensionen jedes D + 3 Punkte in allgemeiner Position eine Teilmenge von d + 2 Punkte, die die Ecken eines cyclischen Polytop bilden. Allgemeiner für jedes d und k & gt; d gibt es eine Zahl m, so dass jeder Satz von m Punkten in allgemeiner Lage hat eine Untergruppe von k Punkte, die die Ecken eines nachbarschaft Polytop bilden.