In der Statistik, sind L-Momenten eine Sequenz von Statistiken verwendet, um die Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammenzufassen. Sie sind L-Statistiken analog zu konventionellen Momente und kann verwendet werden, um analog zu der Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis Mengen berechnet werden, zu bezeichnen die L-Skala, L-Schiefe und Kurtosis-L auf. Standardisierte L-Momente L-Moment-Verhältnissen genannt und sind analog zu den standardisierten Momente. So wie für konventionelle Momente, hat eine theoretische Verteilung einer Reihe von Bevölkerungs L-Momente. Probe L-Momente für eine Probe aus der Bevölkerung definiert werden, und können als Schätzer der Population L-Momenten verwendet werden.

Bevölkerung L-Momente

Für eine Zufallsvariable X ist das rth Bevölkerung L-Moment

wobei Xk: n die k Ordnungsstatistik in einer unabhängigen Stichprobe der Größe n aus der Verteilung von X und bezeichnet erwarteten Wert. Insbesondere sind die ersten vier Bevölkerungs L-Momente

Man beachte, daß die Koeffizienten der k-te L-Moment sind die gleichen wie in der k-ten Term der binomischen Transformation, wie in dem k-Reihenfolge finiten Differenzen verwendet.

Die ersten beiden dieser L-Momente haben herkömmliche Namen:

Die L-Skala ist gleich der Hälfte der Durchschnittsdifferenz.

Beispiel L-Momente

Die Probe L-Momente, da die Bevölkerung L-Momente der Probe berechnet werden, Summieren über r-elementigen Teilmengen der Probe somit Lung durch Division mit dem Binomialkoeffizienten:

Gruppieren diese durch Ordnungsstatistik zählt die Anzahl der Möglichkeiten, ein Element einer n-Probe kann die j-te Element eines r-Element-Teilmenge ist, und ergibt Formeln der untere Formular ein. Direkt Schätzer für die ersten vier L-Momente in einer endlichen Probe von n Beobachtungen:

wobei x das i-te Ordnungsstatistik und ist ein Binomialkoeffizienten. Probe L-Momente können auch indirekt in Form der Wahrscheinlichkeit gewichtet Momente, die zu einer effizienteren Algorithmus für die Berechnung führt definiert werden.

L-Moment Verhältnisse

Eine Reihe von L-Moment-Verhältnisse oder skaliert L-Momente, ist definiert durch

Die nützlichsten davon sind, die so genannte L-Schiefe und die L-Kurtosis.

L-Moment-Verhältnisse liegen innerhalb des Intervalls. Engere Grenzen kann für einige spezifische L-Moment-Verhältnisse gefunden werden; Insbesondere liegt der L-Kurtosis in [-¼, 1), und

Ein analog zu den Variationskoeffizienten, aber basierend auf L-Momente Menge, kann auch definiert werden: das heißt die "Koeffizient der L-Variante" oder "L-CV". Für eine nicht negative Zufallsvariable ist, liegt diese in dem Intervall und ist identisch mit der Gini- Koeffizienten.

Ähnliche Mengen

L-Momente sind statistischen Größen, die von wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente, die zuvor definiert wurden, abgeleitet sind. PWM werden verwendet, um die Parameter der Verteilungen exprimierbare invers wie die Gumbel, der Tukey und den Wakeby Verteilungen effizient zu schätzen.

Verwendung

Es gibt zwei allgemeine Wege, die L-Momenten verwendet werden, in beiden Fällen in Analogie zu den herkömmlichen Momente:

• Als Auswertungsstatistiken für Daten.
• Zu Schätzer für die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet, Anwenden des Verfahrens der Momente um den L-Momenten eher als herkömmliche Momente.

Zusätzlich zu tun diese mit Standard Momenten wird der letztere häufiger mit Maximum-Likelihood-Verfahren durchgeführt; jedoch unter Verwendung von L-Momente bietet eine Reihe von Vorteilen. Genauer gesagt, sind L-Momente robuster als konventionelle Momente, und die Existenz von höheren L-Momente nur verlangt, dass die Zufallsvariable endliche mittlere. Ein Nachteil der L-Moment-Verhältnissen für die Schätzung ist ihre Empfindlichkeit typischerweise kleiner. Zum Beispiel weist der Laplace-Verteilung einen Kurtosis 6 und schwach exponentiellen Schwänze, aber eine größere 4. L-Momentverhältnis als beispiels der Student-t-Verteilung mit df = 3, die eine unendliche Kurtosis und viel schwerer Schwanz hat.

Als Beispiel betrachten wir eine Datenmenge mit wenigen Datenpunkten und einem vorgelagerten Datenwert. Wenn der normale Standardabweichung des Datensatzes genommen wird stark beeinflußt werden durch diesen einen Punkt: Wenn jedoch die L-Skala übernommen wird es viel weniger empfindlich gegenüber dieser Datenwert sein. Folglich L-Momente sind viel aussagekräftiger, wenn es um Ausreißer in den Daten als herkömmliche Momente. Es gibt jedoch auch andere Verfahren besser geeignet, um eine noch höhere Stabilität als nur ersetzt Momente durch L-Momenten zu erreichen. Ein Beispiel hierfür ist mit L-Momente als zusammenfassende Statistiken in Extremwerttheorie. Diese Anwendung zeigt die begrenzte Stabilität der L-Momente, dh L-Statistiken sind nicht beständig Statistik, als eine einzelne Extremwert können sie weg zu werfen, sondern weil sie nur linear sind, sie einfach nur weniger durch Extremwerte als konventionelle Momente betroffen.

Ein weiterer Vorteil L-Momente haben gegenüber herkömmlichen Momente ist, dass ihre Existenz erfordert nur die Zufallsvariable der endlichen Mittelwert haben, so dass die L-Momente gibt, auch wenn die höheren konventionellen Momente gibt es nicht. Ein endlicher Varianz ist zusätzlich damit die Standardfehler der Schätzungen der L-Momente erforderlich endlich sein.

Einige Auftritte von L-Momente in der statistischen Literatur gehören das Buch von David & amp; Nagaraja und eine Anzahl von Papieren. Eine Anzahl von vorteilhaften Vergleich von L-Momente mit gewöhnlichen Momente wurden berichtet.

Werte für einige gängige Distributionen

Die folgende Tabelle gibt Ausdrücke für die ersten beiden L-Momenten und Zahlenwerte der ersten beiden L-Moment Verhältnisse einiger üblicher kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit konstanter L-Moment-Verhältnissen. Komplexer Ausdrücke wurden für einige weitere Verteilungen, bei denen die L-Zeit-Verhältnis schwankt mit einer oder mehreren der Verteilungsparameter, einschließlich der log-normal, Gamma, allgemeine Pareto, generaliExtremWert und generali logistischen Verteilungen abgeleitet.

Die Schreibweise für die Parameter jeder Verteilung ist die gleiche wie die in der verknüpften Artikel verwendet. In dem Ausdruck für den Mittelwert der Gumbelverteilung ist γ die Euler-Mascheroni Konstante 0,57721 ....

Erweiterungen

Getrimmt L-Momente sind Verallgemeinerungen von L-Momente, die Null-Gewicht zu geben, um extreme Beobachtungen. Sie sind daher weniger anfällig auf das Vorhandensein von Ausreißern und anders als L-Momente, die sie möglicherweise für Verteilungen für die der Mittelwert nicht vorhanden ist, wie der Cauchy-Verteilung gut definiert werden.