In der Gruppentheorie, ist eine Nilpotente Gruppe eine Gruppe, die "fast abelsch" ist. Diese Idee wird durch die Tatsache, dass nilpotent Gruppen sind lösbar und für endliche nilpotent Gruppen mit zwei Elementen teiler Bestellungen müssen pendeln motiviert. Es ist auch wahr, dass endliche nilpotent Gruppen supersolvable sind.

Nilpotenten Gruppen entstehen in Galoistheorie sowie bei der Klassifizierung von Gruppen. Sie erscheinen auch prominent in der Klassifizierung der Lie-Gruppen.

Analoge Begriffe werden für die Lie-Algebren einschließlich nilpotent, unteren mittleren Serien und oberen mittleren Serie verwendet.

Definition

Die Definition verwendet die Idee, erklärte auf einer eigenen Seite, aus einem zentralen Serie für eine Gruppe. Die folgenden sind äquivalente Formulierungen:

• A nilpotent Gruppe ist eine, die eine zentrale Reihe von endlicher Länge hat.
• A nilpotent Gruppe ist einer, dessen unteren mittleren Reihe endet in der trivialen Untergruppe nach endlich vielen Schritten.
• A nilpotent Gruppe ist einer, dessen oberen mittleren Reihe endet in der gesamten Gruppe nach endlich vielen Schritten.

Für eine Nilpotente Gruppe wird das kleinste n, so dass G eine zentrale Reihe von Länge n genannt nilpotency Klasse von G; und G wird gesagt, um der Klasse n nilpotenten werden.

Äquivalent die nilpotency Klasse von G ist gleich der Länge des unteren Mittelserien oder oberen mittleren Serien. Wenn eine Gruppe nilpotency Klasse höchstens m, dann ist es manchmal ein Null-m-Gruppe.

Es folgt unmittelbar aus einer der oben genannten Formen der Definition von nilpotency, dass die triviale Gruppe ist die einzigartige Gruppe von nilpotency Klasse 0, und Gruppen von nilpotency Klasse 1 sind genau die nicht-triviale abelschen Gruppen.

Beispiele

• Wie oben erwähnt, ist jede abelsche Gruppe nilpotent.
• Für eine kleine nicht-abelschen Beispiel die Quaternionengruppe Q8, die eine kleinste nicht-abelsche p-Gruppe ist. Es hat Zentrum {1, -1} der Ordnung 2, und ihre oberen mittleren Reihe ist {1}, {1, -1}, Q8; so ist es nilpotent der Klasse 2.
• Alle endliche p-Gruppen sind in der Tat nilpotent. Die maximale Klassen einer Gruppe der Ordnung p n - 1. Die 2-Gruppen von maximal Klasse sind die generali quaternion Gruppen, die Diedergruppen und die semidihedral Gruppen.
• Das direkte Produkt zweier nilpotent Gruppen nilpotent.
• Umgekehrt ist jede endliche Nilpotente Gruppe das direkte Produkt von p-Gruppen.
• Die Heisenberg-Gruppe ist ein Beispiel für nicht-abelschen, unendliche Nilpotente Gruppe.
• Die multiplikative Gruppe von oberen unitriangular nxn Matrizen über einem beliebigen Feld F ist eine Gruppe von nilpotent nilpotent Länge n - 1.
• Die multiplikative Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecks nxn Matrizen über einem Körper F ist im allgemeinen nicht nilpotent, aber lösbar.

Begriffserklärung

Nilpotenten Gruppen werden so genannt, weil die "adjungierten Operation" jedes Element nilpotenten, was bedeutet, dass für eine nilpotenten Gruppe G von nilpotence Grad n und ein Element g ist die durch definierte Funktion nilpotenten in dem Sinne, dass die n-te Iteration der Funktion ist, trivial: für alle in.

Dies ist nicht ein bestimmendes Merkmal der nilpotent Gruppen: Gruppen, für die nilpotent vom Grad n werden als n-Engel Gruppen, und müssen nicht im allgemeinen nilpotenten werden. Sie sind nachweislich nilpotent, wenn sie endlich Bestellung haben, und vermutet, dass, solange sie endlich erzeugt werden nilpotenten werden.

Eine abelsche Gruppe ist genau ein, für die der adjungierten Operation ist nicht nur nilpotent als trivial.

Immobilien

Da jeder aufeinanderFaktorGruppe Zi + 1 / Zi in der oberen mittleren Reihe abelsch, und die Serie endlich ist, ist jede Nilpotente Gruppe ein lösbares Gruppe mit einem relativ einfachen Aufbau.

Jede Untergruppe einer Nilpotente Gruppe der Klasse n nilpotent der Klasse höchstens n; Darüber hinaus, wenn f ein Homomorphismus einer nilpotent Gruppe der Klasse n, dann wird das Bild von f nilpotent der Klasse höchstens n.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent zur endlichen Gruppen und enthüllt einige nützliche Eigenschaften nilpotency:

• G ist ein Nilpotente Gruppe.
• Ist H ein echte Untergruppe von G, dann H ist eine richtige Normalteiler von NG. Dies nennt man die normalizer Eigentum und kann einfach als "Normalisa wachsen" formuliert werden.
• Jedes maximale echte Untergruppe von G ist normal.
• G ist das direkte Produkt seiner Sylow Untergruppen.

Die letzte Aussage kann auf unendliche Gruppen erweitert werden: Wenn G eine Nilpotente Gruppe, dann ist jede Sylow-Untergruppe Gp von G ist normal und das direkte Produkt dieser Sylow Untergruppen wird die Untergruppe aller Elemente endlicher Ordnung in G.

Viele Eigenschaften von nilpotent Gruppen durch hypercentral Gruppen geteilt.