In nicht-euklidische Geometrie ist die Poincaré Halbebene Modell der oberen Halbebene, zusammen mit einer Metrik, die Poincaré-Metrik, die es zu einem Modell der zweidimensionalen hyperbolischen Geometrie macht.

Es ist nach Henri Poincaré benannt, aber stammt von Eugenio Beltrami, der es verwendet wird, zusammen mit der Klein-Modell und der Poincaré-Disk-Modell, um zu zeigen, dass der hyperbolischen Geometrie wurde mit der euklidischen Geometrie equiconsistent. Der Plattenmodell und das Halbebene Modells sind unter einer konformen Abbildung isomorph.

Metric

Die Metrik des Modells auf der Halbebene

ist gegeben durch

wobei s Maßnahmen Länge entlang einer möglicherweise gekrümmte Linie. Die geraden Linien in der hyperbolischen Ebene in diesem Modell durch Kreisbögen senkrecht zu der x-Achse und der senkrechten Geraden endet auf der x-Achse dargestellt. Der Abstand zwischen zwei Punkten in dieser Metrik gemessen entlang einer solchen geodätischen ist

Dieses Modell konform ist, was bedeutet, dass die Winkel, gemessen an einem Punkt sind die gleichen in dem Modell, wie sie in der eigentlichen hyperbolischen Ebene sind.

Dies kann verallgemeinert werden, um eine n + 1-dimensionalen hyperbolischen Raum durch Ersetzen der reellen Zahl x durch einen Vektor in einem n-dimensionalen euklidischen modellieren.

Spezielle Kurven

Zusätzlich zu den oben erwähnten geraden Linien, gibt es andere spezielle Kurven auf der hyperbolischen Ebene, die in der euklidischen Halbebene modelliert werden kann:

• Ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius wird durch einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius modellierten
• Eine Kurve gleich weit entfernt von einer geraden Linie wird entweder durch einen Kreisbogen, der die x-Achse an den gleichen zwei Punkten als Halbkreis, welche Modelle der gegebenen Linie oder durch eine gerade Linie, die die x-Achse gleichzeitig schneidet schneidet modelliert Punkt der vertikalen Linie, welche Modelle den gegebenen Linie.
• Ein horocycle durch einen Kreis tangential zu der x-Achse modelliert oder durch eine Linie parallel zur x-Achse. Ein horocycle eine Grenze auf einer Seite einer Folge von immer größeren Kreisen tangential an dem gleichen Punkt auf einer gegebenen Zeile; auf der anderen Seite ist es ein Grenzwert einer Folge von Kurven im gleichen Abstand von geraden Linien, die immer weiter entfernt sind.

Konstruktion der Kurven

Hier ist, wie man Zirkel und Lineal Konstruktionen im Modell zu verwenden, um den Effekt der Grundkonstruktionen in der hyperbolischen Ebene zu erzielen. Zum Beispiel, wie man den Halbkreis in der euklidischen Halbebene, welche Modelle eine Linie auf der hyperbolischen Ebene durch zwei gegebenen Punkten zu konstruieren.

• Erstellen der Linie, die durch zwei vorhandene Punkte:

Zeichnen Sie die Strecke zwischen den beiden Punkten. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte der Strecke. Findet seinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Zeichnen Sie den Kreis um den Schnittpunkt der durch die gegebenen Punkte verläuft. Löschen der Teil, der auf oder unter der x-Achse ist.

Oder in dem speziellen Fall, wo die zwei gegebene Punkte auf einer senkrechten Linie zu ziehen, dass die vertikale Linie durch die zwei Punkte und löschen den Teil, der auf oder unterhalb der x-Achse ist.

• Erstellen der Kreis durch einen Punkt mit Zentrum ein weiterer Punkt:

Ziehen die radiale Linie zwischen den zwei vorgegebenen Punkten wie im vorherigen Fall. Konstruieren Sie eine Tangente an dieser Linie an der nicht-zentralen Punkt. Werfen Sie einen senkrecht aus der gegebenen Mittelpunkt auf der x-Achse. Finden Sie den Schnittpunkt dieser beiden Linien, um die Mitte des Modells Kreis bekommen. Zeichnen Sie die Modell Kreis um diesem neuen Zentrum und durch die gegebenen nicht-zentrale Punkt.

Oder wenn die beiden gegebenen Punkte liegen auf einer vertikalen Linie und der gegebenen Zentrum ist über dem anderen bestimmten Punkt, dann ziehen Sie eine horizontale Linie durch den nicht-zentrale Punkt. Zeichnen Sie einen Kreis um den Schnittpunkt der vertikalen Linie und der x-Achse, die durch die gegebenen zentralen Punkt durchläuft. Konstruieren Sie die Tangente zu diesem Kreis an ihrem Schnittpunkt mit der horizontalen Linie. Der Mittelpunkt zwischen dem Schnittpunkt der Tangente mit der vertikalen Linie und der gegebenen nicht-zentralen Punkt ist der Mittelpunkt des Modells Kreis. Zeichnen Sie die Modell Kreis um diesem neuen Zentrum und durch die gegebenen nicht-zentrale Punkt.

Oder wenn die beiden gegebenen Punkte liegen auf einer vertikalen Linie und der gegebenen Center ist unter dem anderen bestimmten Punkt, dann ziehen Sie einen Kreis um den Schnittpunkt der vertikalen Linie und der x-Achse, die durch die gegebenen zentralen Punkt durchläuft. Zeichnen Sie eine Linie tangential zu dem Kreis, der durch die gegebene nicht-zentralen Punkt durchläuft. Zeichnen Sie eine horizontale Linie durch diesen Berührungspunkt und finden zum Schnittpunkt mit der vertikalen Linie. Der Mittelpunkt zwischen dieser Kreuzung und der gegebenen nicht-zentrale Punkt ist der Mittelpunkt des Modells Kreis. Zeichnen Sie die Modell Kreis um diesem neuen Zentrum und durch die gegebenen nicht-zentrale Punkt.

• Erstellen der Punkt, der der Schnittpunkt der beiden bestehenden Linien ist, wenn sie sich überschneiden:

Finden Sie den Schnittpunkt der beiden Halbkreise gegeben.

• Erzeugen der einen oder zwei Punkte in der Schnittstelle einer Linie und eines Kreises:

Finden Sie den Schnittpunkt der gegebenen Halbkreis mit dem gegebenen Kreis.

• Erzeugen der einen oder zwei Punkte in dem Schnittpunkt der beiden Kreise:

Finden Sie den Schnittpunkt der beiden gegebenen Kreise.

Symmetriegruppen

Die projektive lineare Gruppe PGL wirkt auf den Riemannschen Kugel durch die Möbiustransformationen. Die Untergruppe, die die obere Halbebene, H, Karten auf sich selbst ist PSL, die Transformationen mit reellen Koeffizienten, und diese wirken transitiv und isometrisch auf der oberen Halbebene, so dass es ein homogener Raum.

Es gibt vier eng verwandten Lie-Gruppen, die auf der oberen Halbebene wirken, indem sie gebrochen linearen Funktionen und die Erhaltung der hyperbolische Abstand.

• Die spezielle lineare Gruppe SL, die der Menge von 2 × 2 Matrizen mit reellen Einträgen, deren Determinante gleich 1 besteht. Beachten Sie, dass viele Texte sagen oft, SL, wenn sie wirklich bedeuten PSL.
• Die Gruppe S * L, die aus der Menge von 2 × 2 Matrizen mit reellen Einträgen, deren Determinante gleich +1 oder -1. Beachten Sie, dass SL ist eine Untergruppe dieser Gruppe.
• Die projektive spezielle lineare Gruppe PSL = SL / {± I}, bestehend aus den Matrizen in SL Modulo plus oder minus der Identitätsmatrix.
• Die Gruppe PSL = SL / {± I} = PGL ist wieder eine projektive Gruppe, und wieder, Modulo plus oder minus die Einheitsmatrix. PSL wird als Index-zwei Normalteiler enthalten, der andere Nebenklasse als den Satz von 2 × 2 Matrizen mit reellen Einträgen, deren Determinante gleich -1 modulo zuzüglich oder abzüglich der Identität.

Das Verhältnis dieser Gruppen zu der Poincaré-Modell ist wie folgt:

• Die Gruppe aller Isometrien aus H, manchmal als Isom bezeichnet, isomorph zu PSL. Dies umfasst sowohl die Orientierung zu bewahren und die orientierungsumkehr Isometrien. Die Orientierung umkehr Karte ist.
• Die Gruppe der orientierungserhalt Isometrien aus H, manchmal als Isom bezeichnet, isomorph zu PSL.

Wichtige Untergruppen der Isometriegruppe sind die Fuchsschen Gruppen.

Man sieht auch häufig die Modulgruppe SL. Diese Gruppe ist in zweierlei Hinsicht von Bedeutung. Erstens ist es eine Symmetriegruppe des quadratischen 2x2 Gitter aus Punkten. So werden Funktionen, die periodisch sind auf einem quadratischen Raster, wie Modulformen und elliptischen Funktionen, wodurch erben eine SL Symmetrie vom Netz. Zweite, SL ist natürlich eine Untergruppe von SL, und hat somit eine hyperbolische Verhalten darin eingebettet. Insbesondere SL kann tessellate der hyperbolischen Ebene in Zellen gleicher Fläche verwendet werden.

Isometrische Symmetrie

Die Gruppe Wirkung der projektive spezielle lineare Gruppe PSL auf H ist definiert durch

Beachten Sie, dass die Aktion transitiv, daß für jede besteht ein, so daß. Es ist auch treu, dadurch gekennzeichnet, dass, wenn für alle z in H, dann g = e.

Der Stabilisator oder Isotropie Untergruppe von einem Element in H z ist die Menge, von denen z unverändert zu lassen: gz = z. Der Stabilisator von i ist die Rotationsgruppe

Da jedes Element Z in H wird i durch ein Element PSL abgebildet, bedeutet dies, daß die Isotropie Gruppe von jedem Z isomorph zu SO. Somit, H = PSL / SO. Alternativ kann das Bündel von Längeneinheit Tangentenvektoren auf der oberen Halbebene, die so genannte Einheit Tangentialbündel, isomorph zu PSL.

Die obere Halbebene wird in den freien regulären Sätzen von der Modulgruppe SL tesselliert.

Geodäten

Die Geodäten für dieses Metriktensor sind Kreisbögen senkrecht zur reellen Achse und geraden vertikalen Linien enden auf der reellen Achse.

Das Gerät Speed ​​geodätischen steigen vertikal, durch den Punkt i ist gegeben durch

Weil PSL transitiv durch isometries der oberen Halbebene wird diese geodätischen in die anderen geodesics durch Einwirkung von PSL abgebildet. Somit ist die allgemeine Einheit Speed ​​geodätischen gegeben durch

Dies stellt die vollständige Beschreibung des geodätischen Flusses auf die Längeneinheit Tangentialbündel auf der oberen Halbebene.