In der algebraischen Geometrie, ist eine geometrisch regelmäßige Ring ein noetherscher Ring über ein Feld, das eine regelmäßige Ring nach jeder endliche Erweiterung des Basisfeld bleibt. Geometrisch regelmäßige Schemata sind in ähnlicher Weise definiert. Bei älteren Terminologie, Punkte mit regelmäßigen lokalen Ringe wurden einfache Punkte genannt, und die Punkte mit geometrisch regelmäßigen lokalen Ringe wurden absolut einfach Punkte genannt. Über Felder, die der Charakteristik 0 sind, oder algebraisch abgeschlossenen oder allgemeiner perfekt, geometrisch regelmäßige Ringe sind die gleichen wie regelmäßige Ringe. Geometrische Regelmäßigkeit entstand, als Chevalley und Weil darauf hingewiesen, Zariski, dass über nicht-perfekte Felder, die Jacobi-Kriterium für einen einfachen Punkt einer algebraischen Varietät ist nicht gleichbedeutend mit der Bedingung, dass der lokale Ring regelmäßig ist.

A noethersch lokalen Ring mit einem Körper K ist über k geometrisch regelmäßige genau dann, wenn sie förmlich glätten k.

Beispiele

Zariski ergab die folgenden zwei Beispiele für lokale Ringe, die regelmäßig, aber nicht geometrisch regelmäßige sind.

• Angenommen, k ein Körper der Charakteristik p & gt; 0 und a ein Element von k, die nicht eine p-te Potenz. Dann wird jeder Punkt der Kurve x + y = a ist regulär. Jedoch über dem Körper k ist jeder Punkt der Kurve singulär. So werden die Punkte dieser Kurve gibt regelmäßige, aber nicht geometrisch regelmäßige.
• Im vorhergehenden Beispiel, wird die Gleichung, die die Kurve definieren reduzierbaren über eine endliche Ausdehnung des Grundfeldes. Dies ist nicht die wirkliche Ursache des Phänomens: Chevalley darauf hingewiesen, Zariski, dass die Kurve x + y = a absolut irreduzibel ist, aber immer noch einen Punkt, dass regelmäßige, aber nicht geometrisch regelmäßige ist.