In der Mechanik ist eine Konstante der Bewegung eine Größe, die während der Bewegung erhalten wird, zur Einführung in der Tat eine Einschränkung für die Bewegung. Es ist jedoch eine mathematische Randbedingung, die natürliche Folge der Bewegungsgleichungen, anstatt eine physische Einschränkung. Typische Beispiele sind spezifische Energie, spezifische lineare Dynamik, spezifische Drehimpuls und der Laplace-Runge-Lenz-Vektor.

Anwendungen

Konstanten der Bewegung sind nützlich, weil sie Eigenschaften der Bewegung, ohne die Lösung der Bewegungsgleichungen ableiten. In Glück Fällen kann auch die Trajektorie der Bewegung als Schnittpunkt der Iso-Oberflächen, die den Bewegungskonstanten abgeleitet werden. B. Poinsot der Konstruktion zeigt, daß die drehmomentfreien Drehung eines starren Körpers ist der Schnittpunkt einer Kugel und eines Ellipsoids, einer Bahn, die sonst schwierig sein könnte abzuleiten und zu visualisieren. Deshalb ist die Identifikation von Bewegungskonstanten ein wichtiges Ziel in der Mechanik.

Verfahren zum Identifizieren von Bewegungskonstanten

Es gibt mehrere Verfahren zum Identifizieren von Bewegungskonstanten.

• Die einfachste, aber am wenigsten systematischen Ansatz ist die intuitive Ableitung, in dem eine Menge wird angenommen, konstant zu sein und später mathematisch gezeigt, während der Bewegung erhalten werden.

• Die Hamilton-Jacobi-Gleichungen stellen eine häufig verwendete und unkomplizierte Verfahren zur Identifizierung von Konstanten der Bewegung, vor allem, wenn der Hamilton-Operator nimmt erkennbare funktionale Formen in orthogonalen Koordinaten.

• Ein weiterer Ansatz ist zu erkennen, dass eine Erhaltungsmenge entspricht einer Symmetrie der Lagrange. Noether-Theorem liefert eine systematische Art und Weise der Ableitung solchen Mengen aus der Symmetrie. Beispielsweise der Energieerhaltung ergibt sich aus der Invarianz der Lagrange unter Verschiebungen im Ursprung der Zeit der Impulserhaltung ergibt sich aus der Invarianz der Lagrange unter Verschiebungen im Ursprung des Raumes und der Erhaltung des Drehimpulses ergibt sich aus der Invarianz der Lagrange bei Drehungen. Das gilt auch umgekehrt; jede Symmetrie des Lagrange entspricht einer Konstante der Bewegung, die oft eine konservierte Ladung oder Strom genannt.

• Eine Menge bleibt erhalten, wenn es nicht explizit zeitabhängig und wenn seine Poisson-Klammer mit dem Hamilton-Null

Ein weiteres nützliches Ergebnis ist Poisson-Theorem, das besagt, dass, wenn zwei Mengen und sind Konstanten der Bewegung, so ist ihre Poisson-Klammer.

Ein System mit N Freiheitsgraden und n Konstanten der Bewegung, so dass die Poissonklammer jedes Paar von Bewegungskonstanten verschwindet, wird als vollständig integrierbar System bekannt. Eine solche Sammlung von Bewegungskonstanten sollen in Involution zueinander sein.

In der Quantenmechanik

Eine beobachtbare Menge Q wird eine Konstante der Bewegung, wenn es mit dem Hamilton-Operator, H pendelt, und sie sich nicht von der Zeit abhängt explizit. Das ist weil

woher

ist der Kollektor Verhältnis.

Abstammung

Sagen, es gibt einige beobachtbar Menge Q, die auf Position, Impuls und Zeit hängt,

Und auch, dass es eine Wellenfunktion, die Schrödinger-Gleichung gehorcht

Wobei die zeitliche Ableitung der Erwartungswert Q erfordert die Verwendung der Produktregel und ergibt

So endlich,

Kommentar hinzufügen

Für einen beliebigen Zustand eines quantenmechanischen Systems, wenn H und Q pendeln, dh wenn

und Q nicht explizit von der Zeit abhängig, dann

Aber wenn eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators, wird selbst dann, wenn

vorgesehen Q nicht explizit von der Zeit abhängig.

Abstammung

Schon seit

Dies ist der Grund, warum Eigen Zustände Hamilton werden auch als stationäre Zustände.

Relevanz für Quantenchaos

Im allgemeinen hat eine integrierbare Systemkonstanten der Bewegung außer der Energie. Im Gegensatz dazu ist die einzige Energie Konstante der Bewegung in einer nicht-integrierbare System; Solche Systeme werden als chaotisch. Im Allgemeinen kann eine klassische mechanische System quantisiert werden, wenn sie integrierbar ist; Ab 2006 gibt es keine bekannte konsistente Methode zur Quantisierung chaotischer dynamischer Systeme.

Integral der Bewegung

Eine Konstante der Bewegung in einer gegebenen Kraftfeld als jede Funktion Phasenraumkoordinaten und der Zeit, die während einer Trajektorie konstant festgelegt werden. Eine Teilmenge der Bewegungskonstanten sind die Integrale der Bewegung oder ersten Integrale definiert als Funktion von nur der Phasenraumkoordinaten, die konstant entlang einer Umlaufbahn sind. Jedes Integral der Bewegung ist eine Konstante der Bewegung, aber das Gegenteil ist nicht wahr, weil eine Konstante der Bewegung kann von der Zeit abhängen. Beispiele für Integrale der Bewegung sind der Drehimpulsvektor ,, oder ein Hamilton ohne Zeitabhängigkeit, wie zum Beispiel. Ein Beispiel einer Funktion, die eine Konstante der Bewegung, jedoch nicht ein Integral der Bewegung würde die Funktion für ein Objekt, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit in einer Dimension ist.